Coś o niczym i o wszystkim.

Niczym jest zero. Zero nie ma żadnej wartości. I chociaż pisze się je jak pełne 0, jest ono puste jak U. Zero to jest nic, mówiąc najprościej, zero jest zerem. Więc kto, kiedy i po co wymyślił zero?

Poetka pisze:

Wiersz ku czci.

Był sobie raz. Wymyślił zero.
W kraju niepewnym. Pod gwiazdą
dziś może ciemną. Pomiędzy datami,
na które któż przysięgnie. Bez imienia
nawet spornego. Nie pozostawiając
poniżej swego zera żadnej myśli złotej
o życiu, któr
e jest jak. Ani legendy,
że dnia pewnego do zerwanej róży
zero dopisał i związał je w bukiet.
Że kiedy miał umierać, odjechał w pustynię
na stugarbnym wielbłądzie. Że zasnął
w cieniu palmy pierwszeństwa. Że się zbudzi,
kiedy już wszystko zostanie przeliczo
ne
aż do ziarenka piasku. Cóż za człowiek.
Szczeliną między faktem a zmyśleniem
uszedł naszej uwagi. Odporny
na każdy los. Strąca ze siebie
każdą, jaką mu daję, postać.
Cisza zrosła się nad nim, bez blizny po głosie.
Nieobecność przybrała wygląd horyzontu
.
Zero pisze się samo.

Wisława Szymborska

Widać więc, że warto pisać o zerze i jego historii, tym bardziej, że robi to Wielka Noblistka. Zero to poważny i trudny problem historyczno -naukowo -dydaktyczno -filozoficzny. Historyczny dlatego, że do tej pory nie ustalono zbyt dokładnego przedziału czasowego w którym pojawiło się zero. Naukowy dlatego, że należy określić pojęcie zera jako liczby a nie tylko znaku cyfry, a to wymaga wcześniejszego określenia samego pojęcia liczby. Dydaktyczny z powodu sposobu i miejsca wprowadzenia liczby zero w nauczaniu szkolnym. Zaś filozoficzny dlatego, że chociaż zero jest niczym to ma ścisły związek z wszystkim.

Popatrzmy co o zerze piszą poważne publikacje.

W "Encyklopedii Szkolnej Matematyki" o zerze napisano następująco:

liczba zero, zero, element neutralny dodawania liczb, tj. taki element x, który dla każdej liczby a spełnia warunek: a+x=a. Używając metod teorii zbiorów, można także określić zero jako liczbę elementów zbioru pustego.
Zero pojawiło się w matematyce stosunkowo późno, prawdopodobnie w VII lub VIII w. gdy Hindusi wprowadzili pozycyjny system zapisu liczb. Przez kilka stuleci używano zera jedynie jako cyfry - znaku zapełniającego puste miejsce w zapisie pozycyjnym. Dopiero w XVI-XVII w. wraz z uks
ztałtowaniem reguł rachunkowych na liczbach i wprowadzeniem oznaczeń literowych na liczby (matematyk francuski F.Viete), liczba zero stała się liczbą równouprawnioną z innymi liczbami całkowitymi.”

W “Encyklopedii Powszechnej” są dwa zera:

ZERO [łac.<arab.], mat.

1) Cyfra 0, oznaczająca w pozycyjnych systemach numeracji brak jednostek danego rzędu; właściwymi wynalazcami cyfry zero byli średniowieczni Indusi, których wygodny zwyczaj zaznaczania ‘pustych miejsc’ zapisu dziesiątkowego maleńką kropką (sanskr. siunja ‘nic’) zapoczątkowany ok. V w., przyjęli kupcy arabscy i rozpowszechnili w innych krajach; niezależne wynalezienie zera sześćdziesiątkowego przez Babilończyków (ok.V w.p.n.e.) miało znaczenie wyłącznie lokalne.

2) Liczba 0, odgraniczająca wartości dodatnie od ujemnych; zero jest, jako składnik neutralny sumy (a+0=a), jedynym rozwiązaniem równania x=-x; będąc zaś anihilatorem iloczynu (a.0=0) nie ma sensu liczbowego jako dzielnik; dalsze własności liczby zero poznano dopiero w czasach nowożytnych; a0=1, 00 jest wyrażeniem nieoznaczonym, 0a=0 (gdy aL0);
Interpretacje liczy zero w matematyce: a) najmniejsza liczba kardynalna, oznaczająca liczebność zbioru pustego, b) prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego, c) wartość logiczna fałszu;
Mianem zera (ale już nie jako liczby) określa się także zbiór pusty, jak też miejsce zerowe funkcji.”

Widać więc, że zero nie tylko istnieje, lecz jest tych zer wiele. Wiemy już po co jest zero jako liczba (do odgraniczania wartości dodatnich od ujemnych) oraz jakie własności ma zero jako liczba (element neutralny), a nawet kto pierwszy używał zera jako cyfry (Babilończycy) i kto, tysiąc lat później upowszechnił cyfrę 0 (Indusi). W dalszym ciągu nie wiemy jednak zbyt dokładnie kto wynalazł liczbę 0.

W najnowszej, komputerowej “Multimedialnej Encyklopedii Powszechnej PWN” z 1996r. o zerze napisano następująco:

“ZERO, mat.: 1) cyfra 0, oznaczająca w pozycyjnych systemach liczbowych brak jednostek danego rzędu; właściwymi wynalazcami zera byli Indusi (ok. V w. n.e.); 2) liczba oznaczana symbolem 0, będąca jedynym rozwiązaniem równania x = –x; jest to taka liczba, która dodana do dowolnej liczby a daje w sumie a (a + 0 = a); inaczej: liczba elementów zbioru pustego, prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego, wartość logiczna fałszu.”

(Należy zwrócić uwagę, że komputerowa, multimedialna encyklopedia jest uboższa w opisie tego hasła niż stara, poczciwa encyklopedia w wydaniu książkowym.)

Sięgnijmy do książek matematycznych.

W "Wykładach z historii matematyki" prof.M.Kordos pisze o zerze przy okazji historii babilońskiego pisma klinowego stosowanego w V w.p.n.e.:

"Pojedynczy klin pionowy oznaczał liczbę 1. Z pojedynczych jedynek układano liczby aż do 9. Liczbę 10 oznaczano poziomym klinem. Dziesiątek mogło być do pięciu. Umieszczenie z ich lewej strony klina pionowego oznaczało zwiększenie liczby o 60. Był to więc system pozycyjny. Miał on jednak jedną wadę. Chodzi o tak zwany brak zera. Trzeba jednak zauważyć, o które zero chodzi. Na odkrycie zera - liczby, a nie znaku - trzeba poczekać jeszcze wiele wieków."

W dalszej części książki spotykamy wzmiankę, że Grecy, Teajtetos i Euklides, w IV w.p.n.e. nie posługiwali się liczbą zero oraz informacje o wymyśleniu i stosowaniu przez Hindusów cyfry 0.

Nicolas Baurbaki (pseudonim grupy francuskich matematyków) w "Elementach historii matematyki" pisze:

“Aksjomatyczna teoria stosunków wielkości, stworzona przez Greków, była niewystarczająca, gdyż wniosła tylko pewną ścisłość do intuicyjnego pojęcia liczby rzeczywistej dodatniej i do działań na tych liczbach, które znali już Babilończycy pod mniej wyraźną postacią; teraz natomiast będzie chodziło o ‘liczby’, o których Grecy nie mieli pojęcia i dla których, początkowo, żadne konkretne ‘przedstawienie’ nie było potrzebne: będą to, z jednej strony zero i liczy ujemne, które pojawiają się we wczesnym średniowieczu w matematyce indyjskiej, z drugiej liczby urojone, stworzone przez algebraików włoskich XVI wieku.”

Teraz już wiemy, że to jednak Hindusi, nie tylko upowszechnili cyfrę zero, ale również wymyślili liczbę zero. Działo się to we wczesnych wiekach nowej ery.

W. Krysicki w książce “Jak liczono dawniej, a jak liczymy dziś” w rozdziale “Wynalazek zera” pisze:

“Najstarsze dokumenty zawierające znaki liczb sięgają czwartego tysiąclecia p.n.e. Rzuca się w oczy bardzo późne powstanie znaku zero. Czym wytłumaczyć, że jeden ze znaków, za pomocą których zapisujemy liczby, powstał kilka tysięcy lat później od innych? Fakt ten tłumaczymy trudnością uznania zera za liczbę. Zero jako odpowiednik wyrazu “nic” wydaje się czymś innym od innych liczb.”

W rozdziale “Najdawniejszy znak zera” czytamy:

“Na kilka wieków p.n.e. (nie wcześniej niż w VI w.p.n.e i nie później niż w II w.p.n.e.) zamiast odstępu zaczyna pojawiać się specjalny znak w kształcie dwóch małych, ukośnie umieszczonych znaków kąta .Tak np. liczba oznaczała 2.602+0.601+2.10+1=7221. Ten znak podwójnego kąta, stwierdzający brak jednostek pewnego rzędu, jest najstarszym znanym symbolem zera.”

Podsumujmy więc zebrane informacje o zerze. Ze wszystkich dokumentów wynika, że kilka wieków p.n.e. posługiwano się cyfrą zero, a dopiero w Średniowieczu zaczęto posługiwać się liczbą zero. Ma więc zupełną rację poetka, pisząc: “Zero pisze się samo.” Zero nie ma autora, a ten kto go wymyślił jest nieznany: “Bez imienia nawet spornego.

Poszukując informacji o liczbie zero, spróbowałem jeszcze sprawdzić, czy w którymś podręczniku szkolnym są informacje o historii liczby zero. Niestety w żadnym tego nie znalazłem. Wiemy jednak, że naukę o liczbach rozpoczynają dzieci w klasie 1 szkoły podstawowej i już na pierwszych lekcjach matematyki wprowadza się dodawanie i odejmowanie liczb w zakresie od 0 do 5. To właśnie jest zaskakujące. W całym współczesnym świecie małe dzieci posługują się, nie tylko cyfrą zero, ale również liczbą zero i nie sprawia im to żadnych trudności, zaś dorośli mędrcy Starożytności nie potrafili tego robić. Wydaje się, że jest to niemożliwe i że, prawdopodobnie brak innych źródeł pisanych skłonił historyków do uznania, że dopiero we wczesnym Średniowieczu zaczęto posługiwać się liczbą zero.

Na zakończenie pozostał jeszcze do rozważenia problem (filozoficzny?) dotyczący zera, mianowicie jaki jest związek między zerem (nic) a odwrotnością zera (wszystko). O niczym, czyli o zerze, już trochę wiemy. Pomyślmy więc, co jest odwrotnością zera? Odwrotnością 1/2 jest 2, odwrotnością 1/10 jest 10. Dla każdej liczby x, oprócz zera, odwrotnością jest liczba, którą obliczamy dzieląc 1 przez x. Pytanie o odwrotność zera jest pytaniem o dzielenie przez zero, a dzielenie przez zero dla niektórych ludzi (czy wszystkich?) nie ma sensu. W tym właśnie jest problem - czy dzielenie przez zero ma sens. Oczywiście należy mówić, że dzielenie przez zero nie jest żadną liczbą, ale uważam, że nie należy mówić, że dzielenie przez zero nie ma żadnego sensu. Ma ono sens, którym posługujemy się w pewnej równoważnej sytuacji matematycznej. Mianowicie, tłumaczymy uczniom co to jest odcinek. Mówimy, że odcinek składa się z dwóch punktów i wszystkich punktów między nimi. Każdy punkt nie ma wymiaru, jego długość czy “grubość” wynosi zero, ale nieskończenie wiele takich punktów daje odcinek długości np.1. Trudno to oczywiście zrozumieć, jak nieskończenie wiele niczego daje coś. Ale tak to jest i nie prowadzi to do sprzeczności. Można nawet powiedzieć więcej, że matematyka oparta o takie podstawy, a w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy operujący wielkościami nieskończenie małymi i nieskończenie dużymi, utrzymują się i nie można doszukać się w nim sprzeczności a nawet przynoszą one pożytek w opisywaniu świata i w rozwoju ludzkości. Powyższa interpretacja odcinka, chociaż nastręcza trudności, jest uznawana za sensowną. Nikt nie kwestionuje pytania - z ilu punktów składa się odcinek długości 1?, a to jest właśnie pytanie - ile jest 1/0?, albo inaczej, jest to pytanie - ile odcinków zerowych mieści się w odcinku długości 1?. Odpowiedź oczywiście brzmi: nieskończenie wiele. I to jest właśnie sens dzielenia przez zero. Wynikiem nie jest konkretna liczba ale nieskończoność, którą możemy interpretować jako nieskończenie wielką liczbę, większą od każdej realnej liczby. Rozumienie wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych nie jest dane ludziom od urodzenia. Nauczyciele próbujący przybliżyć to pojęcie swoim uczniom są bezradni wobec zasadniczego pytania - jak z niczego (punktów o zerowej długości) może powstać coś (odcinek o realnej długości)? Matematyka, a właściwie współczesna filozofia powoli przebijają się z nową interpretacją tych faktów. Wybitny współczesny filozof Roger Penrose w książce “Nowy umysł cesarza” pisze: “Jeżeli będziemy wciąż zmniejszać odległość między dwoma punktami, w pewnym momencie dosięgniemy tak małej skali, że samo pojęcie odległości straci swój zwykły sens.”

I tym cytatem można zakończyć rozważania o niczym i o wszystkim , proponując chwilę zadumy nad nieskończonością,

Eugeniusz Jakubas
Zamość 1997r.

Literatura.

  1. Wisława Szymborska - “Ku czci” - tomik “Sól”, 1962r.
  2. Włodzimierz Waliszewski - ”Encyklopedia Szkolna Matematyki”, WSiP, 1990r.
  3. Praca zbiorowa - “Encyklopedia Powszechna”, PWN, 1973r.
  4. Praca zbiorowa - “Multimedialna Encyklopedia Powszechna”, PWN, 1996r.
  5. Marek Kordos - “Wykłady z historii matematyki”, WSiP, 1994r.
  6. Nocolas Bourbaki - “Elementy historii matematyki”, PWN, 1980r.
  7. Helena Wilk-Siwek - “Błękitna Matematyka 1”, Wydawnictwo “Kleks”, 1995r.
  8. Roger Penrose - “Nowy umysł cesarza”, PWN 1996r.