Eugeniusz Jakubas - Zamość 2007


11 ciekawych zadań kalkulatorowo - komputerowych dla licealistów
z rozwiązaniami


Zadanie 1.
Wyznacz wartość poniższego ułamka z dokładnością do 4 miejsc po przecinku.

ulamek-pietrowy-3.gif (1180 bytes)    
Rozwiązanie.


Zadanie 2.
Wyznacz dodatni pierwiastek równania x2 - x - 6 = 0 przekształcając je do postaci x = 1 + 6/x. Wykorzystaj kalkulator i klawisze: 1, +, 6, /, Ans, Enter.
Rozwiązanie.


Zadanie 3.
Napisz program kalkulatorowy lub komputerowy, wyznaczający metodą iteracyjną dodatni pierwiastek równania x2 - x - 6 = 0. Podaj interpretację geometryczną tego rozwiązania.
Rozwiązanie.


Zadanie 4.
Sprawdź, na poniższych przykładach, czy reguły pisemnego dodawania liczb można stosować do liczb zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych, okresowych.
przyklady.gif (1345 bytes)
Rozwiązanie.


Zadanie 5.
Na poniższym rysunku przedstawiono dwa zbiory punktów:
- czerwony pas - wykres nierówności  |x| < 2,
- niebieski pas - wykres nierówności  |y| < 2.
Wspólna część obu pasów tworzy fioletowy kwadrat. Znajdź nierówność, której wykresem jest ten kwadrat oraz napisz program do graficznego rozwiązywania nierówności.

dwa-pasy.gif (5236 bytes)
Rozwiązanie.


Zadanie 6.
Liczba n = 128574 ma ciekawą własność. Podwojenie tej liczby, czyli liczba 257148, jest zbudowana z tych samych cyfr co liczba n.
a) Znajdź najmniejszą liczbę spełniającą tę własność.
b) Znajdź najmniejszą liczbę n dla której również liczby 2n, 3n, 4n, 5n, 6n zbudowane są z tych samych cyfr co liczba n.
Rozwiązanie.


Zadanie 7.
Popatrz na rysunek przedstawiający 6 żaglówek i słońce. Odpręż się, rozluźnij wzrok i wywołaj tzw. podwójne widzenie (zez). Po chwili zobaczysz 7, 8 lub 9 żaglówek i 2 słońca. Rysunek taki nazywamy stereogramem (rysunkiem przestrzennym), na którym elementy nie są ustawione w jednej linii. Niektóre żaglówki są bliżej nas, a inne są w głębi.
a) Ile żaglówek widzisz i która jest najbliżej?
b) Napisz program komputerowy tworzący podobne rysunki.

zaglowki.gif (15443 bytes)
Rozwiązanie.


Zadanie 8.
Dany jest ciąg Fibonacciego: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2.
a) Oblicz a1, a2, a3, ..., a8.
b) Oblicy S1, S2, S3, ..., S8 i zauważ ciekawą zależność  pomiędzy wyrazami a sumami.
a) Oblicz a49 wiedząc, że S47 = 7 778 742 048.
b) Napisz program obliczający wyrazy ciągu Fibonacciego i za jego pomocą sprawdź rozwiązanie podpunktu a).
Rozwiązanie.


Zadanie 9.
Sporządź za pomocą kalkulatora lub komputera następujące wykresy:
a)
sqrt-abs.gif (1817 bytes)

b)
parabole1.gif (4099 bytes)
Rozwiązanie.


Zadanie 10.
Na płaszczyźnie dane są trzy dowolne, niewspółliniowe punkty A, B, C, różne od punktu (0, 0). Po płaszczyźnie skacze żaba, rozpoczynając skoki z punktu (0, 0). Przed każdym skokiem żaba wybiera losowo jeden z punktów, A lub B lub C, i w jego kierunku wykonuje skok. Długość każdego skoku jest równa połowie odległości pomiędzy miejscem w którym aktualnie się znajduje, a wybranym punktem. Napisz program który zaznaczy wszystkie miejsca w których zatrzyma się żaba. Zakładamy, że żaba wykonuje 5000 skoków. Dla ułatwienia obliczeń przyjmij, że punkty A, B, C są wierzchołkami trójkata równobocznego.
Rozwiązanie.


Zadanie 11.
Wyznacz iloraz wielomianów (2x3 - 5x2 - 4x + 3) : (x - 3).
Rozwiązanie.

 


 

 

Rozwiązania.
(Kalkulator TI-83 lub programowanie w języku Turbo Pascal)


Rozwiązanie zadania 1.

Ustawiamy dokładność kalkulatora TI-83 na 4 miejsca po przecinku.
Wpisujemy do kalkulatora wartość 1 i naciskamy Enter.
Wpisujemy 1+6/Ans i naciskamy tyle razy klawisz Enter, ile pięter ma dany ułamek (w tym przypadku 28 razy).
(Uwaga: Każde naciśnięcie Enter powoduje podstawienie za Ans wartości otrzymanej w poprzednim kroku i obliczenie nowej wartości ze wzoru 1+6/Ans.)

iteracje.jpg (19390 bytes)
Odpowiedź: 3,0000.


Rozwiązanie zadania 2.

Wykonujemy kroki (iteracje) za pomocą kalkulatora, identyczne jak w zadaniu 1.

 iteracje1.jpg (6986 bytes)
Odpowiedź: x = 3,0000.


Rozwiązanie zadania 3.

iteracje-pr.gif (1328 bytes)

(Zrzut ekranu za pomocą
programu TI-Graph Link)

program iteracje; {Turbo Pascal}
uses crt;
var x,y:real;
begin
  X:=1;
  Y:=1+6/X;
  while X<>Y do
  begin
    writeLn(X:4:4);
    X:=Y;
    Y:=1+6/X;
  end;
  readLn;
end.
Wyniki działania obu programów są identyczne:
1.0000
7.0000
1.8571
4.2308
......
......
......
2.9999
3.0001
3.0000
Interpretacja geometryczna. 
Niech dany będzie układ wspólrzędnych XOY i wykresy funkcji f(x) = x  i  g(x) = 1 + 6/x. 
iteracje-3.gif (5471 bytes)
Zaznaczamy na osi OX punkt startowy x = 1. 
Obliczamy wartość 1 + 6/1 = 7 i zaznaczamy ją na wykresie funkcji g(x).  
Podstawiamy 7 = x i zaznaczamy wartość 7 na wykresie funkcji f(x). 
Obliczamy wartość 1+6/x dla x = 7 i otrzymujemy: 1 + 6/7 = 1,8571, którą zaznaczamy na wykresie funkcji g(x).  
Postępujemy dalej według tej procedury, aż dochodzimy do punktu x = 3, który jest pierwiastkiem równania i równocześnie jest punktem przecięcia wykresów obu funkcji.

Uwaga:
Rozpoczynając procedurę z innego punktu startowego, np. x = 2, otrzymujemy ten sam wynik, sprawdź to na rysunku oraz za pomocą obu programów "Iteracje".


Rozwiązanie zadania 4.

Gdyby reguły dodawania liczb obowiązywały dla liczb zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych okresowych, otrzymalibyśmy następujące wyniki:
przyklady1.gif (1636 bytes) 
W dwóch pierwszych przypadkach wyniki są prawidłowe, natomiast w trzecim przypadku wynik jest błędny, powinno być 18,(24).
Można to sprawdzić np. za pomocą kalkulatora: 14,858585858585 + 3,383838383838 = 18,242424242424 = 18,(24).
Zatem, reguł pisemnego dodawania liczb nie można stosować do liczb zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych okresowych.


Rozwiązanie zadania 5.

Fioletowy kwadrat można określić nierównością: |x + y| + |x - y| < 4.

nierow-pr.gif (2291 bytes)

nierow.jpg (4726 bytes)


Rozwiązanie zadania 6.

a)

Program n_i_2n;  {Turbo Pascal}
uses crt;
var n,j,icn,ic2n:longInt;
    S:string;
begin
  clrscr;
  n:=1;
  repeat
    n:=n+1;
    str(n,S); icn:=1;
    for j:=1 to length(S) do icn:=icn*ord(S[j]);
    str(2*n,S); ic2n:=1;
    for j:=1 to length(S) do ic2n:=ic2n*ord(S[j]);
  until icn=ic2n;
  writeLn(2,'*',n,'=',2*n);
  readln;
end.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy wynik 2*125874 = 251748, czyli najmniejszą liczbą spełniającą tę własność jest liczba 125874.

b) n =  142857; wynik ten można otrzymać modyfikując powyższy program "n_i_2n".


Rozwiązanie zadania 7.

a)
Gdy widzisz 7 żaglówek, to 5. żaglówka (licząc od lewej) jest najbliżej.
Gdy widzisz 8 żaglówek, to 6. żaglówka jest najbliżej.
Gdy widzisz 9 żaglówek, to 5. i 6. żaglówka są najbliżej.

Wyjaśnienie tego zjawiska znajdziesz w "Kalejdoskopie matematycznym" - Hugo Steinhausa.

b)

program stereogramy;
uses  graph;
var   karta,tryb,n,p:integer;
begin
  karta:=vga; tryb:=vgaHi; initGraph(karta,tryb,'');
  for n:=1 to 6 do
  begin
    p:=random(10);
    setFillStyle(1,red);
    fillEllipse(n*80+p,200,20,20);
    setFillStyle(1,green);
    bar(n*80+p,200,n*80+p+5,300);
  end;
  readln; closegraph;
end.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy prosty stereogram:
stereogr.jpg (17676 bytes)


Rozwiązanie zadania 8.

a) Wyznaczając pierwsze wyrazy ciągu Fibonacciego oraz ich sumy, zauważamy prostą prawidłowość:
              Fib.jpg (6203 bytes)
Trzeci wyraz jest o jeden większy od sumy jednego wyrazu.
Czwarty wyraz jest o jeden większy od sumy dwóch wyrazów.
Piąty wyraz jest o jeden większy od sumy trzech wyrazów.
Szósty wyraz jest o jeden większy od sumy czterech wyrazów.
Siódmy wyraz jest o jeden większy od sumy pięciu wyrazów.
Ósmy wyraz jest o jeden większy od sumy sześciu wyrazów.
Itd., itd.
Czterdziesty dziewiąty wyraz jest o jeden większy od sumy czterdziestu siedmiu wyrazów.
Zatem, a49 = 7 778 742 049.

b)
Fib-pr.gif (1156 bytes)     
Uruchamiając ten program stwierdzamy, że rzeczywiście a49 = 7 778 742 049.


Rozwiązanie zadania 9.

a) y =  sqrt-abs-1.gif (208 bytes) 

b) y = c-1x2 - c,  gdzie c = 1, 2, 3, 4, 5, 6


Rozwiązanie zadania 10.

Sier-pr.gif (1969 bytes)

Po uruchomieniu programu otrzymujemy zbiór punktów przedstawjających miejsca w których zatrzymywała się żaba. Jest to figura, zwana trójkątem Sierpińskiego. Jest to przykład fraktala (każda część trójkąta jest podobna do całego trójkąta).


Sier.gif (1583 bytes)


Rozwiązanie zadania 11.

Schemat Hornera:


Horner.jpg (11678 bytes)
Odp. 2x2 + x - 1