Temat: Twierdzenie Eulera i jego
zastosowanie. (liceum)
Tw-Eulera.doc – 50 kB
Celem lekcji jest sformułowanie i udowodnienie
twierdzenia Eulera dla figur płaskich i wielościanów oraz zastosowanie go do
poszukiwania wielościanów foremnych.
Przebieg lekcji:
1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania
1.
Na płaszczyźnie danych jest p punktów (p>2).
Punkty te połączono nieprzecinającymi się krzywymi tworząc spójny graf.
Ile obszarów zamkniętych utworzyły
krzywe tego grafu?
Rozwiązanie:
Dla trzech punktów graf składa się
z 2 lub 3 krzywych - rys.1.
Rys.1
Dla
czterech punktów graf składa się z 3 lub z 4 lub z 5 lub z 6 krzywych - rys 2.
Rys.2
Teza: Liczba s
obszarów zamkniętych wynosi s = k-p+1.
Udowodnimy indukcyjnie wzór s = k-p+1 prowadząc indukcję ze względu na
ilość p punktów grafu.
1o. Niech p=3 (rys.1).
Jeżeli k=2 to s=0; jeśli k=3 to s=1
Ze wzoru s = k-p+1 również otrzymujemy te same wartości: dla
k=2, s = 2-3+1 = 0, dla k=3, s =3-3+1=1,
zatem wzór jest prawdziwy dla p=3.
2o. Załóżmy, że dla każdego grafu
składającego się z p punktów i mającego k krzywych, zachodzi równość s
= k-p+1.
Udowodnimy, że dla grafu mającego p+1 punktów również zachodzi ten wzór.
Dowód:
Dodając jeden nowy punkt do grafu
składającego się z p punktów musimy
połączyć go nową krzywą z którymś z dotychczasowych punktów. Nie powstanie przy
tym żaden nowy obszar zamknięty ponieważ jest to pierwsza krzywa wychodząca z tego
punktu.
Wyrażenie k-p+1 przyjmie więc postać (k+1)-(p+1)+1=k-p+1 = s, czyli wzór jest spełniony.
Zbudowanie r nowych połączeń pomiędzy p+1 punktami w każdym z możliwych układów, spowoduje wzrost liczby krzywych o r oraz wzrost liczby obszarów również o r, ponieważ dorysowanie każdej krzywej albo
tworzy jeden nowy obszar, albo też rozdziela już istniejący obszar na dwa obszary,
czyli przybywa jeden obszar.
Wyrażenie s = k-p+1 przyjmie więc postać s+r = (k+1+r)-(p+1)+1, a stąd
s+r = k+r-p+1 i ostatecznie s = k-p+1. c.n.d.
Zatem wzór s= k-p+1 jest prawdziwy dla wszelkich grafów
składających się z p punktów.
2. Sformułowanie i rozwiązanie zadania
2.
Korzystając ze wzoru s
= k-p+1 znajdź związek między liczbą
ścian, liczbą wierzchołków i liczbą krawędzi dowolnego wielościanu wypukłego?
Do rozwiązania tego zadania należy
najpierw dokonać myślowej transformacji zamieniającej wielościan na figurę płaską:
usuwamy jedną ze ścian wielościanu, zostawiając jej krawędzie, i zakładając, że
wielościan jest wykonany z elastycznego materiału, rozciągamy go płasko na
płaszczyźnie. Wówczas spełnioniony jest wzór s= k-p+1.
Przyjmując oznaczenia s -
liczba ścian wielościanu, k - liczba krawędzi wielościanu, w -
liczba wierzchołków wielościanu równa liczbie p punktów,
otrzymujemy s
= k-w+1. Dodając teraz usuniętą wcześniej ścianę otrzymujemy ostatecznie:
Odpowiedź: s = k - w + 2. (Tw. Eulera)
3. Wprowadzenie definicji i
przykładów wielościanów foremnych.
Definicja.
Wielościan nazywamy foremnym jeśli
wszystkie jego ściany są przystające i wszystkie naroża również są przystające.
Przykładami wielościanów foremnych
są sześcian i czworościan foremny.
4. Rozwiązanie zadania 3.
Znajdź wszystkie wielościany
foremne.
Rozwiązanie:
Ponieważ
poszukiwany wielościan ma być foremny więc przyjmijmy, że ma on pewną ilość ścian s i każda ściana ma a boków, oraz że ma on w wierzchołków i z każdego wierzchołka
wychodzi b krawędzi. Przyjmijmy też, że ma
on k krawędzi.
Otrzymujemy
stąd s*a/2
= k i w*b/2=k,
a po przekształceniu s=2*k/a
i w=2*k/b.
Korzystamy
teraz ze wzoru Eulera s = k - w + 2 i wstawiamy do niego dwa ostatnie
wyrażenia. Otrzymujemy wyrażenie 2*k/a = k - 2*k/b + 2 a
stąd po przekształceniu
2/a + 2/b
- 2/k = 1
Aby
znaleźć jakiś wielościan foremny należy dobrać odpowiednią trójkę liczb a, b, k spełniającą ostatnią równość.
Uczniowie mogą albo ręcznie sprawdzać różne trójki liczb albo napisać krótki program komputerowy do
znajdowania tych liczb.
program
Wielosciany_foremne; {Turbo Pascal} uses
crt; var
a,b,k:integer; begin clrScr; for a:=3 to 50 do for b:=3 to 50 do for k:=3 to 50 do if
2/a+2/b-2/k=1 then
writeLn(a,' ',b,' ',k,' ',2*k/a:2:0); readLn; end. |
program
Wielosciany_foremne; {Think
Pascal} var a, b, k: integer; begin
for a := 3 to 50 do
for b := 3 to 50 do
for k := 3 to 50 do if
2 / a + 2 / b - 2 / k = 1 then
writeln(a, b, k,2*k/a:2:0); end. |
Powyższy program daje tylko trzy
rozwiązania:
a=3
b=3 k=6 s=4
a=3
b=5 k=30 s=20
a=5
b=3 k=30 s=12
Wśród tych rozwiązań nie ma jednak
sześcianu. Nie jest to błąd programu lecz niedokładność obliczeń. Należy omówić
z uczniami rachunek błędów i zmienić linię programu if 2/a+2/b-2/k=1 then na postać if
abs(2/a+2/b-2/k-1)<0.000001 then.
Teraz otrzymujemy wszystkie
rozwiązania, dające wszystkie rodzaje wielościanów foremnych:
a=3, b=3, k=6, s=4 - czworościan foremny
a=3, b=4, k=12, s=8 - ośmiościan foremny
a=3, b=5, k=30, s=20 - dwudziestościan foremny
a=4, b=3, k=12, s=6 - sześcian
a=5, b=3, k=30, s=12 - dwunastościan foremny.
Należy jeszcze uzasadnić (na
podstawie analizy wzoru 2/a+2/b-2/k=1), że
poszukiwania trójek a, b, k wśród coraz większych liczb nie jest
potrzebne, ponieważ 2/a+2/b musiałoby być
>1 co nie może mieć miejsca. Znalezione wielościany są więc wszystkimi możliwymi
wielościanami foremnymi.
5. Na zakończenie lekcji należy
omówić zależności pomiędzy wielościanami foremnymi wykorzystując program „Wiel-for.exe”.
6. Jako ciekawostkę można zaprezentować uczniom poniższą animację, obrazującą sposoby przekształcania jednych wielościanów foremnych na inne.