Temat: Ciągi i
szeregi.
(liceum)
ciag-sze.doc
– 70 kB
Celem lekcji jest
prezentacja wykresów ciągów i szeregów i w oparciu o te wykresy omówienie ich
własności.
Przebieg
lekcji:
Wykorzystując poniższy program „ciagi” należy zaprezentować po kilka wykresów ciągów arytmetycznych rosnących, malejących i stałych oraz sformułować wniosek dotyczący monotoniczności:
Ciąg
arytmetyczny jest rosnący, jeżeli jego różnica jest dodatnia, zaś malejący, jeżeli
różnica jest ujemna. W przypadku, gdy różnica wynosi zero, ciąg arytmetyczny jest
stały.
program
ciagi; uses
graph; var
karta,tryb:integer; i,i0,j:longInt; wartosc:real;
wS,iS:string; function
a(n : longint) : real; begin a:=1+(n-1)*1/2; end; begin karta :=detect; initgraph(karta,tryb,''); bar(0,0,639,479); j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black); for i:=1 to 440
div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479); for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j); setColor(black); line(200,0,200,479); line(180,240,639,240); i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS); for i :=i0 to i0 +
39 do begin wartosc
:=a(i); str(wartosc:1:9,wS);
str(i,iS); outtextxy(4,12*(i-i0)+4,'a'+iS+'
= '+wS); fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2) end; readln; closegraph end. |
Rys.1. Przykładowy wykres ciągu arytmetycznego an=1+(n-1)*1/2.
Wykorzystując poniższy program „ciagi-rekurencyjne” należy zaprezentować po kilka wykresów ciągów geometrycznych rosnących, malejących – rys.2, stałych, zbieżnych – rys.2 i rozbieżnych oraz sformułować wnioski dotyczące monotoniczności i zbieżności:
Ciąg
geometryczny jest rosnący, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni i iloraz jest większy od
1 lub pierwszy wyraz jest ujemny i iloraz jest dodatni i mniejszy od 1.
Ciąg
geometryczny jest malejący, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni i iloraz jest dodatni i
mniejszy od 1 lub pierwszy wyraz jest ujemny i iloraz jest większy od 1.
Jeśli iloraz
jest zerem lub jedynką, to ciąg geometryczny jest stały.
Jeśli iloraz
jest ujemny to ciąg geometryczny jest naprzemienny.
Ciąg
geometryczny jest zbieżny do zera, jeżeli jego iloraz jest ułamkiem właściwym, tzn.
należy do przedziału (-1, 1).
program
ciagi_rekurencyjne; uses
graph; var
karta,tryb:integer; i,i0,j:longInt; wartosc:real;
wS,iS:string; function
a(n:integer):real; begin if n=1 then a:=1 else a:=a(n-1)*1/2; end; begin karta :=detect; initgraph(karta,tryb,''); bar(0,0,639,479); j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black); for i:=1 to 440
div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479); for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j); setColor(black); line(200,0,200,479); line(180,240,639,240); i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS); for i :=i0 to i0 +
39 do begin wartosc
:=a(i); str(wartosc:1:9,wS);
str(i,iS); outtextxy(4,12*(i-i0)+4,'a'+iS+'
= '+wS); fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2) end; readln; closegraph end. |
Rys.2. Przykładowy wykres ciągu geometrycznego an
= 1/2^(n-1).
Ciąg harmoniczny
an = 1/n jest malejący, ponieważ każdy jego wyraz jest mniejszy od
poprzedniego, tzn. an+1 < an.
Ciąg
harmoniczny an = 1/n jest zbieżny do zera (jego granicą jest zero), ponieważ
wraz ze wzrostem n jego wyrazy są dowolnie blisko zera. (W klasach mat.-fiz. można
podać formalną definicje zbieżności wg Couchego)
Rys.3. Wykres
ciągu harmonicznego an = 1/n.
program
ciagi_szeregi; uses
graph; var
karta,tryb:integer; i,i0,j:longInt; wartosc,s:real; wS,iS,sS:string; function
a(n : longint) : real; begin a:=-2+(n-1)*1/3; end; begin karta :=detect; initgraph(karta,tryb,''); bar(0,0,639,479); j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black); for i:=1 to 440
div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479); for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j); setColor(black); line(200,0,200,479); line(180,240,639,240); i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS); s:=0; for i :=i0 to i0 + 39 do begin wartosc
:=a(i); str(wartosc:1:9,wS);
str(i,iS); setColor(blue); outtextxy(4,12*(2*i-i0)+4,'a'+iS+'
= '+wS); fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2); s:=s+wartosc; str(s:1:9,sS); setColor(red); outtextxy(44,12*(2*i-i0)+14,'s'+iS+'
= '+sS); fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-s*j+240),2,2); end; readln; closegraph end. |
Rys.4. Ciąg
arytmetyczny an = -2+(n-1)*1/3 i szereg arytmetyczny otrzymany z tego ciągu.
Spostrzeżenie: Punkty wykresu
ciągu arytmetycznego leżą na linii prostej zaś punkty wykresu, odpowiadającego mu
szeregu arytmetycznego, leżą na paraboli. Uzasadnienie tego spostrzeżenia
można przeprowadzić algebraicznie, w oparciu o wzór na sumę ciągu arytmetycznego .
W klasach mat.-fiz. należy zrobić to koniecznie, ponieważ ma to związek z pojęciem pochodnej i całki. Mianowicie, pochodną szeregu jest ciąg, z którego szereg ten powstał lub odwrotnie całką ciągu jest szereg.
5. Badanie szeregów geometrycznych. Wykorzystując poniższy program „ciagi_szeregi_rekurencyjne” należy zaprezentować kilka wykresów ciągów geometrycznych zbieżnych i rozbieżnych oraz sformułować wniosek dotyczący zbieżności szeregu:
program
ciagi_szeregi_rekurencyjne; uses
graph; var
karta,tryb:integer; i,i0,j:longInt; wartosc,s:real; wS,iS,sS:string; function
a(n:integer):real; begin if n=1 then a:=1 else a:=a(n-1)*1/2; end; begin karta :=detect; initgraph(karta,tryb,''); bar(0,0,639,479); j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black); for i:=1 to 440
div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479); for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j); setColor(black); line(200,0,200,479); line(180,240,639,240); i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS); s:=0; for i :=i0 to i0 + 39 do begin wartosc
:=a(i); str(wartosc:1:9,wS);
str(i,iS); setColor(blue); outtextxy(4,12*(2*i-i0)+4,'a'+iS+'
= '+wS); fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2); s:=s+wartosc; str(s:1:9,sS); setColor(red); outtextxy(44,12*(2*i-i0)+14,'s'+iS+'
= '+sS); fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-s*j+240),2,2); end; readln; closegraph end. |
Rys.5. Ciąg geometryczny an = 1/2^(n-1) i
szereg geometryczny otrzymany z tego ciągu.
Po prezentacji
wykresów,
wykorzystując wzór , należy wyprowadzić wzór na sumę nieskończonego ciągu
geometrycznego
Rys.6. Ciąg i
szereg harmoniczny.
Spostrzeżenie: Mimo tego, że
ciąg harmoniczny jest zbieżny, to szereg harmoniczny zbudowany z tego ciągu jest
rozbieżny.
7. Zastosowanie własności ciągów i szeregów do rozwiązania praktycznych zadań:
Zad.1. Z 20 klocków
zbudować bramy przedstawione na poniższych rysunkach 7, 8, 9.
Uwaga: Klocki
układamy przy pomocy odpowiednich ciągów, tzn. wielkość wysunięcia klocka o numerze
n odpowiada wartości wyrazu ciągu an. Do rozwiązania zadania można
wykorzystać prawdziwe klocki lub program komputerowy „ciag-sze.exe”.
W programie tym liczba klocków oznacza, ile klocków znajduje się po jednej stronie
bramy, bez klocka leżącego w podstawie.
![]() |
![]() |
Rys.8
![]() |
Rys.9
Odpowiedź do
zad.1:
Brama z rys.7
została zbudowane przy pomocy ciągu .
Brama z rys.8
została zbudowane przy pomocy ciągu stałego
Brama z rys.9
została zbudowane przy pomocy ciągu geometrycznego
Zad.2. Z 20 klocków
zbudować bramę o większej szerokości niż brama z rys.9.
![]() |
Rys.10. Brama zbudowana przy
pomocy ciągu harmonicznego
Zad.3. Zbadać, czy dla
każdego z wyżej rozpatrywanych ciągów ,
,
,
, można
zbudować bramy złożone z więcej niż 20 klocków. Następnie zbadać, czy można
otrzymać bramę o dowolnie dużej szerokości.
Odpowiedź: Bramy zbudowane przy pomocy ciągów i
, mogą zawierać tylko 20
klocków, tzn, po 9 klocków z każdej strony plus 2 klocki w podstawie. Przy większej
liczbie klocków stosy zawalą się.
Brama zbudowana
przy pomocy ciągu może zawierać
dowolną liczbę klocków. Będzie wtedy dowolnie wysoka, ale szerokość bramy nie
przekroczy czterech jednostek. Wynika to ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu
geometrycznego.
Brama zbudowana
przy pomocy ciągu może zawierać
dowolną liczbę klocków. Przy wzrastającej liczbie klocków wysokość i szerokość
bramy będą się zwiększać. Np. dla 9 klocków szerokość bramy wyniesie 5.65794 a dla
50 klocków 8.99841. Wynika to z rozbieżności sumy ciągu harmonicznego. Brama ta ma
największą z możliwych szerokość i żadna inna brama nie może być od niej szersza.
Można to uzasadnić obliczając środki ciężkości dla kolejnych wartości n. Wypadają
one zawsze na krawędzi podstawy i jakiekolwiek większe wysunięcie klocków spowoduje
zawalenie się stosu.