Temat: Ciągi i szeregi. (liceum)                                                           ciag-sze.doc – 70 kB

 

Celem lekcji jest prezentacja wykresów ciągów i szeregów i w oparciu o te wykresy omówienie ich własności.

 

Przebieg lekcji:

 

  1. Sporządzanie wykresów ciągów arytmetycznych i obserwacja ich monotoniczności.

Wykorzystując poniższy program „ciagi” należy zaprezentować po kilka wykresów ciągów arytmetycznych rosnących, malejących i stałych oraz sformułować wniosek dotyczący monotoniczności:

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, jeżeli jego różnica jest dodatnia, zaś malejący, jeżeli różnica jest ujemna. W przypadku, gdy różnica wynosi zero, ciąg arytmetyczny jest stały.

program ciagi;

uses graph;

var karta,tryb:integer;

    i,i0,j:longInt;

wartosc:real; wS,iS:string;

function a(n : longint) : real;

begin

  a:=1+(n-1)*1/2;

end;

begin

  karta :=detect; initgraph(karta,tryb,'');

  bar(0,0,639,479);

  j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black);

  for i:=1 to 440 div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479);

  for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j);

  setColor(black);

  line(200,0,200,479); line(180,240,639,240);

  i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS);

  for i :=i0 to i0 + 39 do

      begin

        wartosc :=a(i);

        str(wartosc:1:9,wS); str(i,iS);

        outtextxy(4,12*(i-i0)+4,'a'+iS+' = '+wS);

        fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2)

      end;

  readln; closegraph

end.

 

Rys.1. Przykładowy wykres ciągu arytmetycznego an=1+(n-1)*1/2.

 

  1. Sporządzanie wykresów ciągów geometrycznych i obserwacja ich monotoniczności oraz zbieżności.

Wykorzystując poniższy program „ciagi-rekurencyjne” należy zaprezentować po kilka wykresów ciągów geometrycznych rosnących, malejących – rys.2, stałych, zbieżnych – rys.2 i rozbieżnych oraz sformułować wnioski dotyczące monotoniczności i zbieżności:

Ciąg geometryczny jest rosnący, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni i iloraz jest większy od 1 lub pierwszy wyraz jest ujemny i iloraz jest dodatni i mniejszy od 1.

Ciąg geometryczny jest malejący, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni i iloraz jest dodatni i mniejszy od 1 lub pierwszy wyraz jest ujemny i iloraz jest większy od 1.

Jeśli iloraz jest zerem lub jedynką, to ciąg geometryczny jest stały.

Jeśli iloraz jest ujemny to ciąg geometryczny jest naprzemienny.

 

Ciąg geometryczny jest zbieżny do zera, jeżeli jego iloraz jest ułamkiem właściwym, tzn. należy do przedziału (-1, 1).

 

program ciagi_rekurencyjne;

uses graph;

var karta,tryb:integer;

    i,i0,j:longInt;

wartosc:real; wS,iS:string;

function a(n:integer):real;

begin

  if n=1 then a:=1

  else

  a:=a(n-1)*1/2;

end;

begin

  karta :=detect; initgraph(karta,tryb,'');

  bar(0,0,639,479);

  j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black);

  for i:=1 to 440 div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479);

  for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j);

  setColor(black);

  line(200,0,200,479); line(180,240,639,240);

  i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS);

  for i :=i0 to i0 + 39 do

      begin

        wartosc :=a(i);

        str(wartosc:1:9,wS); str(i,iS);

        outtextxy(4,12*(i-i0)+4,'a'+iS+' = '+wS);

        fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2)

      end;

  readln; closegraph

end.

 

Rys.2. Przykładowy wykres ciągu geometrycznego an = 1/2^(n-1).

 

  1. Badanie ciągu harmonicznego an=1/n – rys.3. Sformułowanie wniosków o jego monotoniczności i zbieżności:

Ciąg harmoniczny an = 1/n jest malejący, ponieważ każdy jego wyraz jest mniejszy od poprzedniego, tzn. an+1 < an.

Ciąg harmoniczny an = 1/n jest zbieżny do zera (jego granicą jest zero), ponieważ wraz ze wzrostem n jego wyrazy są dowolnie blisko zera. (W klasach mat.-fiz. można podać formalną definicje zbieżności wg Couchego)

 

Rys.3. Wykres ciągu harmonicznego an = 1/n.

 

  1. Badanie szeregów arytmetycznych przy pomocy poniższego programu „ciagi_szeregi”.

 

program ciagi_szeregi;

uses graph;

var karta,tryb:integer;

    i,i0,j:longInt;

    wartosc,s:real;

    wS,iS,sS:string;

function a(n : longint) : real;

begin

  a:=-2+(n-1)*1/3;

end;

begin

  karta :=detect; initgraph(karta,tryb,'');

  bar(0,0,639,479);

  j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black);

  for i:=1 to 440 div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479);

  for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j);

  setColor(black);

  line(200,0,200,479); line(180,240,639,240);

  i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS);

  s:=0;

  for i :=i0 to i0 + 39 do

      begin

        wartosc :=a(i);

        str(wartosc:1:9,wS); str(i,iS);

        setColor(blue);

        outtextxy(4,12*(2*i-i0)+4,'a'+iS+' = '+wS);

        fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2);

        s:=s+wartosc;

        str(s:1:9,sS);

        setColor(red);

        outtextxy(44,12*(2*i-i0)+14,'s'+iS+' = '+sS);

        fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-s*j+240),2,2);

      end;

  readln; closegraph

end.

 

Rys.4. Ciąg arytmetyczny an = -2+(n-1)*1/3 i szereg arytmetyczny otrzymany z tego ciągu.

 

Spostrzeżenie: Punkty wykresu ciągu arytmetycznego leżą na linii prostej zaś punkty wykresu, odpowiadającego mu szeregu arytmetycznego, leżą na paraboli. Uzasadnienie tego spostrzeżenia można przeprowadzić algebraicznie, w oparciu o wzór na sumę ciągu arytmetycznego .

W klasach mat.-fiz. należy zrobić to koniecznie, ponieważ ma to związek z pojęciem pochodnej i całki. Mianowicie, pochodną szeregu jest ciąg, z którego szereg ten powstał lub odwrotnie całką ciągu jest szereg.

 

5.      Badanie szeregów geometrycznych. Wykorzystując poniższy program „ciagi_szeregi_rekurencyjne” należy zaprezentować kilka wykresów ciągów geometrycznych zbieżnych i rozbieżnych oraz sformułować wniosek dotyczący zbieżności szeregu:

Jeżeli ciąg geometryczny jest zbieżny to odpowiadający mu szereg geometryczny jest również zbieżny.

 

program ciagi_szeregi_rekurencyjne;

uses graph;

var karta,tryb:integer;

    i,i0,j:longInt;

    wartosc,s:real;

    wS,iS,sS:string;

function a(n:integer):real;

begin

  if n=1 then a:=1

  else

  a:=a(n-1)*1/2;

end;

begin

  karta :=detect; initgraph(karta,tryb,'');

  bar(0,0,639,479);

  j:=20; setColor(lightGray); setFillStyle(1,black);

  for i:=1 to 440 div j do line(i*j+200,0,i*j+200,479);

  for i:=1 to 480 div j do line(195,i*j,639,i*j);

  setColor(black);

  line(200,0,200,479); line(180,240,639,240);

  i0 :=1; str(i0,iS); outtextxy(j+200,245,iS);

  s:=0;

  for i :=i0 to i0 + 39 do

      begin

        wartosc :=a(i);

        str(wartosc:1:9,wS); str(i,iS);

        setColor(blue);

        outtextxy(4,12*(2*i-i0)+4,'a'+iS+' = '+wS);

        fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-wartosc*j+240),2,2);

        s:=s+wartosc;

        str(s:1:9,sS);

        setColor(red);

        outtextxy(44,12*(2*i-i0)+14,'s'+iS+' = '+sS);

        fillellipse(round((i-i0+1)*j+200),round(-s*j+240),2,2);

      end;

  readln; closegraph

end.

 

Rys.5. Ciąg geometryczny an = 1/2^(n-1) i szereg geometryczny otrzymany z tego ciągu.

 

Po prezentacji wykresów, wykorzystując wzór , należy wyprowadzić wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego  

 

  1. Omówienie własności szeregu harmonicznego przy pomocy programu „ciagi-szeregi”.

 

Rys.6. Ciąg i szereg harmoniczny.

 

Spostrzeżenie: Mimo tego, że ciąg harmoniczny jest zbieżny, to szereg harmoniczny zbudowany z tego ciągu jest rozbieżny.

 

7.      Zastosowanie własności ciągów i szeregów do rozwiązania praktycznych zadań:

 

Zad.1. Z 20 klocków zbudować bramy przedstawione na poniższych rysunkach 7, 8, 9.

Uwaga: Klocki układamy przy pomocy odpowiednich ciągów, tzn. wielkość wysunięcia klocka o numerze n odpowiada wartości wyrazu ciągu an. Do rozwiązania zadania można wykorzystać prawdziwe klocki lub program komputerowy „ciag-sze.exe”. W programie tym liczba klocków oznacza, ile klocków znajduje się po jednej stronie bramy, bez klocka leżącego w podstawie.

 


Rys.7


Rys.8


 

Rys.9

 

Odpowiedź do zad.1:

Brama z rys.7 została zbudowane przy pomocy ciągu .

Brama z rys.8 została zbudowane przy pomocy ciągu stałego

Brama z rys.9 została zbudowane przy pomocy ciągu geometrycznego

 

Zad.2. Z 20 klocków zbudować bramę o większej szerokości niż brama z rys.9.

 

Odpowiedź: Brama przedstawiona na rys.10, zbudowana przy pomocy ciągu harmonicznego  ma większą szerokość niż brama z rys.9.


Rys.10. Brama zbudowana przy pomocy ciągu harmonicznego

 


Zad.3. Zbadać, czy dla każdego z wyżej rozpatrywanych ciągów , , , , można zbudować bramy złożone z więcej niż 20 klocków. Następnie zbadać, czy można otrzymać bramę o dowolnie dużej szerokości.

Odpowiedź:     Bramy zbudowane przy pomocy ciągów  i , mogą zawierać tylko 20 klocków, tzn, po 9 klocków z każdej strony plus 2 klocki w podstawie. Przy większej liczbie klocków stosy zawalą się.

Brama zbudowana przy pomocy ciągu  może zawierać dowolną liczbę klocków. Będzie wtedy dowolnie wysoka, ale szerokość bramy nie przekroczy czterech jednostek. Wynika to ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.

Brama zbudowana przy pomocy ciągu  może zawierać dowolną liczbę klocków. Przy wzrastającej liczbie klocków wysokość i szerokość bramy będą się zwiększać. Np. dla 9 klocków szerokość bramy wyniesie 5.65794 a dla 50 klocków 8.99841. Wynika to z rozbieżności sumy ciągu harmonicznego. Brama ta ma największą z możliwych szerokość i żadna inna brama nie może być od niej szersza. Można to uzasadnić obliczając środki ciężkości dla kolejnych wartości n. Wypadają one zawsze na krawędzi podstawy i jakiekolwiek większe wysunięcie klocków spowoduje zawalenie się stosu.