Temat: Kąty w okręgu. (gimnazjum)                                                katy-w-o.doc – 57 kB

 

Celem lekcji jest odkrycie i udowodnienie pięciu twierdzeń dotyczących kątów w okręgu.

 

Przebieg lekcji:

 

Twierdzenie 1. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, opartego o ten sam łuk okręgu.

 

Lekcja powinna być prowadzona metodą problemową. Nie należy podawać uczniom treści tego, ani następnych, twierdzeń. Uczniowie powinni sami odkryć te twierdzenia pracując z programem CABRI 2 i wykonując czynności wskazane przez nauczyciela.

W tym przypadku uczniowie rysują dowolny kąt wpisany w okrąg i wyznaczają kąt środkowy oparty o ten sam łuk okręgu. Następnie mierzą oba kąty i zmieniając miarę kąta wpisanego obserwują jak zmienia się miara kąta środkowego – rys.1.

Rys. 1. Odkrywanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym.

 

Dowód twierdzenia przedstawia rys.2.

Rys. 2. Dowód tw.1.

Przesuwamy równolegle kąt środkowy tak, aby jego wierzchołek znalazł się w wierzchołku kąta wpisanego. Z analizy zależności wynika, że b = 2a1+2a2 = 2( a1+a2) = 2a

 

Twierdzenie 2. Kąty wpisane w okrąg oparte o ten sam łuk są równe.

Uczniowie rysują dwa kąty wpisane oparte o ten sam łuk okręgu i wyznaczają ich miary. Zmieniając miarę i położenie jednego z kątów wpisanych obserwują miarę drugiego kąta wpisanego – rys.3.

Rys.3. Odkrywanie twierdzenia o kątach wpisanych opartych o ten sam łuk okręgu.

 

Dowód twierdzenia przedstawia rys.4.

Rys.4. Dowód tw.2.

Na podstawie tw.1 oba kąty wpisane są równe połowie kąta środkowego, zatem są sobie równe.

 

Twierdzenie 3. Kąt wpisany oparty o średnicę jest prosty.

Uczniowie rysują dowolny kąt wpisany i budują kąt środkowy oparty o ten sam łuk okręgu. Po wyznaczeniu miar tych kątów zmieniają kąt wpisany i obserwują w jakim położeniu jego miara wynosi 900 – rys.5.

 

Rys.5. Odkrywanie twierdzenia o kącie wpisanym opartym o średnicę okręgu.

 

            Dowód twierdzenia jest natychmiastowy w oparciu o tw.1.

 

Twierdzenie 4. W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180o.

Uczniowie rysują dowolny okrąg i dowolne cztery punkty, z których trzy leżą na okręgu, czwarty poza okręgiem. Następnie zmieniają położenie czwartego punktu tak, aby znalazł się na okręgu i określają zależność między kątami czworokąta – rys.6.

Rys.6. Odkrywanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg.

 

Dowód twierdzenia przedstawia rys.7.

Rys.7. Dowód tw.4.

Korzystając z tw.1 stwierdzamy, że kątom wpisanym a i b odpowiedają kąty środkowe 2a i 2b. Ponieważ 2a+2b=3600, więc a+b=1800.

 

Twierdzenie 5. W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe.

Uczniowie rysują dowolny czworokąt i budują okrąg styczny do dwóch boków tego czworokąta. Następnie zmieniają położenie czwartego wierzchołka tak, aby pozostałe dwa boki również były styczne do okręgu i określają zależność między bokami czworokąta – rys.8.

Rys.8. Odkrywanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu.

 

Dowód twierdzenia przedstawia rys. 9.

Rys.9. Dowód tw.5.

Symy przeciwległych boków czworokąta wynoszą a+b+c+d   i   b+c+d+a, zatem są równe.