Temat: Iloraz różnicowy i pochodna funkcji. (liceum)                                pochodna.doc – 61 kB

 

Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji.

 

Przebieg lekcji:

1. Powtórzenie wiadomości o wielkościach proporcjonalnych, wykresach wielkości proporcjonalnych, interpretacji współczynnika kierunkowego prostej, dziedzinie funkcji, wartościach funkcji i monotoniczności funkcji.

2. Rozwiązanie przez uczniów zadania 1.

Zadanie 1. Sporządź wykres funkcji  y = 1/4* x2 + x - 6 i podaj jak najwięcej własności tej funkcji.

Odpowiedź: Wykresem funkcji jest parabola. Wierzchołkiem jest punkt W(-2,-7),

punkt przecięcia z osią OY wynosi -6, a miejsca zerowe wynoszą: -2-2

i -2+2. Funkcja jest malejąca w przedziale (-,-2) zaś rosnąca w

przedziale (-2,+).

3. Omówienie pojęcia ilorazu różnicowego funkcji  y = 1/4* x2 + x - 6.

Dla  x1= -1,  x2=6,  iloraz różnicowy    u  =       = 2.25

Oznacza on średni przyrost wartości funkcji przypadający na 1 jednostkę.

4. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego przy pomocy poniższego programu sieczna.

 

program Sieczna;                               {Turbo Pascal}

uses graph;

var karta,tryb,n,xA,yA,xB,yB:integer;

    x,x1,x2,u:real;

function f(x:real):real;

begin

     f:=1/4*x*x+x-6;

end;

begin

  karta:=detect;  initgraph(karta,tryb,'');

  setColor(lightGray);

  for n:=0 to 32 do line(n*20,0,n*20,479);

  for n:=0 to 24 do line(0,n*20,639,n*20);

  setColor(white);

  line(0,240,639,240); line(320,0,320,479);

  x:=-16;

  repeat

   x:=x+0.05;

  putPixel(round(x*20+320),round(240-f(x)*20),9);

  until x>=16;

  x1:=-1;   x2:=6;

  xA:=round(x1*20+320);

   yA:=round(240-f(x1)*20);circle(xA,yA,2);

  xB:=round(x2*20+320);

  yB:=round(240-f(x2)*20);circle(xB,yB,2);

  u:=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1);   write('u = ',u:1:4);

 line(0,round(u*xA+yA),639,round(u*(xA-639)+yA));

 line(xA,yA,xB,yA); line(xB,yA,xB,yB);

 readln;  closegraph;

end.

program Sieczna;                               {Think Pascal}

 var n, xA, yA, xB, yB: integer;

        x, x1, x2, u: real;

 function f (x: real): real;

 begin

      f := 1 / 4 * x * x + x - 6;

 end;

begin

  for n := 1 to 30 do drawLine(n * 20, 0, n * 20, 400);

  for n := 1 to 20 do drawLine(0, n * 20, 600, n * 20);

  penSize(2, 2);

  drawLine(0,200,600,200);

 drawLine(300,0,300,400);

 x := -16;

 repeat

  x := x + 0.05;

paintCircle(round(x*20+300),round(200-f(x)*20),1);

 until x > 16;

 x1 := -1; x2 := 6;

 xA := round(x1 * 20 + 300);

 yA := round(200-f(x1)*20);paintCircle(xA,yA,3);

 xB := round(x2 * 20 + 300);

 yB := round(200-f(x2)*20);paintCircle(xB, yB, 3);

 u := (f(x2) - f(x1)) / (x2-x1); write('u = 'u : 2 : 2);

drawLine(0,round(u*xA+yA),

             600,round(u*(xA-600)+yA));

 drawLine(xA, yA, xB, yA);

 drawLine(xB, yA, xB, yB);

end.

  Iloraz różnicowy 2.25 jest równy  tg(a), gdzie a oznacza kąt nachylenia siecznej do osi X – rys.1.

 

5. Postawienie i rozwiązanie problemu 1.

   Zbadać jak zmienia się iloraz różnicowy danej funkcji f(x)=1/4*x2+x-6, gdy punkt x1 jest stały i wynosi -1, a punkt x2 dąży do x1 ?

6. Omówienie wyników.

  dla x1=-1 i x2=6,  iloraz różnicowy u =2.25,          - rys.1.

  dla x1=-1 i x2=5,  iloraz różnicowy u =2,

  dla x1=-1 i x2=4,  iloraz różnicowy u =1.75,

  dla x1=-1 i x2=3,  iloraz różnicowy u =1.5,

  dla x1=-1 i x2=0,  iloraz różnicowy u =0.75,

  dla x1=-1 i x2=-0.5,  iloraz różnicowy u =0.625,

  dla x1=-1 i x2=-0.99,  iloraz różnicowy u =0.5025,

  dla x1=-1 i x2=-0.999,  iloraz różnicowy u =0.5002,

  dla x1=-1 i x2=-0.9999,  iloraz różnicowy u =0.5, - rys.2.

  dla x1=-1 i x2=-0.99999, iloraz różnicowy u =0.5.

Rys.1.                                                             Rys. 2.

7. Sformułowanie wniosku:

  Iloraz  różnicowy  funkcji    f(x)=1/4*x2+x-6    przy  x2 ® -1 dąży do liczby 0.5.

  Liczbę  tę będziemy nazywać pochodną funkcji f(x) w punkcie -1 i zapisywać symbolem

f '(-1) = 0.5.

  Graniczne  położenie  siecznej  przy x2®  x1  będziemy nazywać styczną.

8. Obliczanie  pochodnych  danej  funkcji w innych punktach przy pomocy programu.

9. Obliczanie pochodnych innych funkcji w różnych punktach, np. y=sin(x) w  punkcie x=1- rys.3, 4.

                                   Rys. 3                                                             Rys. 4

 

10. Obliczanie pochodnych funkcji z definicji, jako granicy ciągu ilorazów różnicowych.

 

11. Wprowadzenie pojęcia funkcji pochodnej.

W celu poglądowego wprowadzenia tego pojęcia należy skorzystać z wyżej podanego programu Wykresy_funkcji i dopisać do niego deklarację funkcji pochodnej. Przyjmie on postać:

Program Pochodna;                          {Turbo Pascal}

uses Graph;

var karta,tryb,n,siatka,j:integer;  x,y:real;

function f(x:real):real;

begin

  f:=sin(x);

end;

function g(x:real):real;

begin

  g:=(f(x+0.000001)-f(x))/0.000001;

end;

begin

  karta:=detect; initGraph(karta,tryb,'');

  j:=36;  setColor(darkGray);

  for n:=-320 div j to 320 div j do

  begin

    line(320+n*j,0,320+n*j,479);

    line(0,240+n*j,639,240+n*j);

  end;

  setcolor(white);

  line(0,240,639,240); line(630,235,639,240);

  line(630,245,639,240); outtextxy(630,250,'X');

  line(320,0,320,479); line(315,9,320,0);

  line(320,0,325,9); outtextxy(330,8,'Y');

  x:=-320/j;

  repeat

    x:=x+1/j/2;   y:=240-f(x)*j;

    setColor(lightBlue); setFillStyle(1,lightBlue);

    if abs(y)<480 then

       fillEllipse(round(x*j+320),round(y),1,1);

    y:=240-g(x)*j;

    setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed);

    if abs(y)<480 then

       fillEllipse(round(x*j+320),round(y),1,1);

  until x>320/j;

  readln; closeGraph;

end.

program Pochodna;                          {Think Pascal}

var  n, j: integer; x: real;

function f (x: real): real;

begin

   f := sin(x);

end;

function g (x: real): real;

begin

   g := (f(x + 0.00001) - f(x)) / 0.00001;

end;

begin

   j := 36;

   for n := -300 div j to 300 div j do

   drawLine(300 + n * j, 0, 300 + n * j, 400);

   for n := -200 div j to 200 div j do

                drawLine(0, 200 + n * j, 600, 200 + n * j);

   penSize(2, 2);

   drawLine(300, 0, 300, 400);

   drawLine(590, 195, 600, 200);

   drawLine(600, 200, 590, 205);

    moveTo(590, 220);

   drawString('X');

   drawLine(0, 200, 600, 200);

   drawLine(295, 10, 300, 0);

   drawLine(300, 0, 305, 10);

    moveTo(310, 20);

   drawString('Y');

   x := -300 / j;

   repeat

      x := x + 1 / j;

      foreColor(blueColor);

      paintCircle(round(x* j+301),round(200-f(x)*),1);

      foreColor(redColor);

     paintCircle(round(x*j+301),round(200-g(x)*j),1);

until x > 300 / j;

end.

 

Rys.5. f(x)=1/4x2+x-6,  f '(x)=1/2x+1                                  Rys.6. f(x)=sin(x),  f '(x)=cos(x)

 

12. Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji elementarnych.