Temat: Ułamki okresowe. (gimnazjum)
ulam-okr.doc – 39 kB
Celem lekcji jest zapoznanie ze sposobem wyznaczanie ilości cyfr między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu oraz sposobem wyznaczania długości okresu.
Przebieg lekcji:
1. Czynności przygotowawcze i wprowadzające:
- Praca indywidualna -
powtórzenie rozkładu liczb na czynniki pierwsze:
18 1 2
30 1 2
999 1 3
9 1 3
15 1 3
333 1 3
3 1 3
5 1 5
111 1 3
1 1
1 1
37 137
1 1
- Praca indywidualna - powtórzenie
pisemnego sposobu dzielenia liczb na przykładzie liczb 133 i 74:
133 : 74 = 1,7972972972972972972...
74
590
518
720
666
540
518
220
148
720
.....
2. Praca
grupowa - przypomnienie określenia okresu, wydzielenie okresu ułamka 
.
3. Praca grupowa przy komputerach -
wykonanie przy pomocy programu zuzno.exe przykładów na zamianę
ułamka zwykłego na dziesiętny okresowy:
Przykłady: 2 : 3 = 0.6666666666666666666666666666666666666666666...
3 : 4 = 0.7500000000000000000000000000000000000000000...
3 : 5 = 0.6000000000000000000000000000000000000000000...
5 : 6 = 0.8333333333333333333333333333333333333333333...
6 : 7 = 0.8571428571428571428571428571428571428571428...
9 : 11 = 0.8181818181818181818181818181818181818181818...
11 : 15 = 0.7333333333333333333333333333333333333333333...
19 : 60 = 0.3166666666666666666666666666666666666666666...
133
: 74 = 1,7972972972972972972797297297297297297297297...
4. Postawienie uczniom do
rozwiązania problemu:
Problem 1. Czy każdy ułamek ma rozwinięcie
dziesiętne okresowe?
Podczas rozwiązywania problemów
uczniowie pracują w grupach 3-4 osobowych stosując program "zuzno.exe".
Wykonują wiele przykładów na zamianę ułamka zwykłego na okresowy, formułując
hipotezy i próbując je weryfikować.
Odpowiedź:
Każdy ułamek zwykły ma
rozwinięcie dziesiętne okresowe.
Uzasadnienie: W trakcie dzielenia
pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze reszty również będą się
powtarzać. (Ilość
różnych reszt dla mianownika q, ułamka nieskracalnego p/q, wynosi co najwyżej q-1.
Patrz przykład ułamka 1/7.)
Rozwinięcie dziesiętne w którym, od
pewnego miejsca, występują same zera nazywamy rozwinięciem skończonym. Rozwinięcie
takie możemy jednak również traktować jako rozwinięcie okresowe o okresie 0.
5. Sformułowanie i rozwiązanie
problemu:
Problem 2.
Czy zawsze okres rozpoczyna się tuż
po przecinku? Jeśli nie, to jak określić ilość cyfr, rozwinięcia dziesiętnego ułamka, między przecinkiem a pierwszą cyfrą
okresu ?
W czasie rozwiązywania problemu
uczniowie powinni wykonać wiele przykładów na zamianę ułamków zwykłych na
dziesiętne i szczegółowo przeanalizować te przykłady w których okres nie rozpoczyna
się tuż po przecinku oraz starać się sformułować wniosek.
Odpowiedź:
Ilość cyfr między przecinkiem a
okresem równa jest większej z ilości dwójek lub piątek w rozkładzie mianownika
ułamka na czynniki pierwsze.
Uzasadnieniem tej odpowiedzi jest to,
że każde dzielenie przez 2 lub przez 5 lub przez 2*5, czyli przez 10, jest skończone i
daje jedną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego. Patrz przykłady 5/6, 11/15, 23/60, 133/74.
6. Sformułowanie i rozwiązanie
problemu:
Problem 3. Jaka jest własność ułamków o mianownikach 9, 99, 999,
... ?
Uczniowie powinni wykonać przy pomocy
programu wiele przykładów zamiany ułamków o mianownikach 9, 99, 999, itd. na ułamki
dziesiętne.
Odpowiedź:
Ułamki o mianowniku 9, 99, 999, ...
mają okresy złożone z tylu cyfr ile jest dziewiątek w mianowniku. Jednocześnie
licznik takiego ułamka jest jego okresem (z ewentualnymi zerami na początku, jeśli
ilość cyfr licznika jest mniejsza od ilości cyfr mianownika).
Np.
1/9 =
0.1111111111111111111111111111111...
5/9 =
0.5555555555555555555555555555555...
7/99=
0.0707070707070707070707070707070...
12/99 = 0.121212121212121212121212121212...
Odpowiedź jest prawidłowa nawet
wtedy, gdy ułamek o mianowniku 9, 99, 999, ...skróci się, np. 6/9 = 2/3 = 0,666666666666666666666666666666...
592/999 = 16/27 = 0.592592592592592592592592592...
7. Sformułowanie i rozwiązanie
problemu:
Problem 4.
Jak określić długość okresu
ułamka bez wykonywania rozwinięcia dziesiętnego?
Pomysł rozwiązania tego problemu
powinna nasunąć odpowiedź do poprzedniego problemu.
Odpowiedź:
Dla ułamków o mianownikach 9, 99,
999,... długość okresu jest równa ilości dziewiątek w tych mianownikach - patrz
problem 3. Dla innych ułamków należy wydzielić w mianownikach czynniki 2 i 5, (mają
one wpływ na ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego między przecinkiem a okresem), zaś
pozostałą część mianownika rozszerzyć do mianownika 9 lub 99 lub 999 itd. a
następnie zastosować pierwszą część odpowiedzi.
Przykład 1: Ułamek nieskracalny o
mianowniku 22, po podzieleniu mianownika
przez 2, daje mianownik 11, który następnie daje się rozszerzyć do mianownika 99.
Zatem długość okresu ułamka nieskracalnego o mianowniku 22 wynosi 2, np.,
7/22=0,3(18), 19/22=0,8(63).
Przykład 2: Ułamek nieskracalny o
mianowniku 130, po podzieleniu mianownika przez 2*5, daje mianownik 13, który następnie
daje się rozszerzyć do mianownika 999999. Zatem długość okresu ułamka nieskracalnego
o mianowniku 130 wynosi 6, np. 57/130=0,4(384615), 129/130=0,9(923076).
W związku z powyższą odpowiedzią
pojawia się problem, czy każdy mianownik (po wyłączeniu czynników 2 i 5) da się
rozszerzyć do liczby 9 lub 99 lub 999 itd. Odpowiedź jest pozytywna - należy
odpowiednio zmodyfikować problem 1.
8. Ćwiczenia w wyznaczaniu okresów
i długości okresów ułamków.
5. Podsumowanie lekcji - powtórzenie głównych zagadnień i wniosków
6. Sformułowanie i omówienie pracy domowej:
Zad.1. Wyznaczyć ilość cyfr pomiędzy
przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu dla ułamków: 
.
Zad.2. Wyznaczyć długość okresu
ułamka 