Temat: Ułamki okresowe. (gimnazjum)                                               ulam-okr.doc – 39 kB

 

Celem lekcji jest zapoznanie ze sposobem wyznaczanie ilości cyfr między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu oraz sposobem wyznaczania długości okresu.

 

Przebieg lekcji:

1.      Czynności przygotowawcze i wprowadzające:

- Praca indywidualna - powtórzenie rozkładu liczb na czynniki pierwsze:

            18 1 2                          30 1 2                          999 1 3

                9 1 3                          15 1 3                          333 1 3

                3 1 3                            5 1 5                          111 1 3

                1 1                              1 1                              37 137

                                                                                         1 1

- Praca indywidualna - powtórzenie pisemnego sposobu dzielenia liczb na przykładzie liczb 133 i 74:

         133 : 74 = 1,7972972972972972972...

           74

           590

           518

            720

            666

             540

             518

              220

              148

               720

                .....

2.      Praca grupowa - przypomnienie określenia okresu, wydzielenie okresu ułamka .

3. Praca grupowa przy komputerach - wykonanie przy pomocy programu zuzno.exe przykładów na zamianę ułamka zwykłego na dziesiętny okresowy:

Przykłady:    2 : 3 = 0.6666666666666666666666666666666666666666666...

                        3 : 4 = 0.7500000000000000000000000000000000000000000...

                        3 : 5 = 0.6000000000000000000000000000000000000000000...

                        5 : 6 = 0.8333333333333333333333333333333333333333333...

                        6 : 7 = 0.8571428571428571428571428571428571428571428...

                        9 : 11 = 0.8181818181818181818181818181818181818181818...

                      11 : 15 = 0.7333333333333333333333333333333333333333333...

                      19 : 60 = 0.3166666666666666666666666666666666666666666...

                    133 : 74 = 1,7972972972972972972797297297297297297297297...

 

4. Postawienie uczniom do rozwiązania problemu:

Problem 1. Czy każdy ułamek ma rozwinięcie dziesiętne okresowe?

Podczas rozwiązywania problemów uczniowie pracują w grupach 3-4 osobowych stosując program "zuzno.exe". Wykonują wiele przykładów na zamianę ułamka zwykłego na okresowy, formułując hipotezy i próbując je weryfikować.

Odpowiedź:

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne okresowe.

Uzasadnienie: W trakcie dzielenia pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze reszty również będą się powtarzać. (Ilość różnych reszt dla mianownika q, ułamka nieskracalnego p/q, wynosi co najwyżej q-1. Patrz przykład ułamka 1/7.)

Rozwinięcie dziesiętne w którym, od pewnego miejsca, występują same zera nazywamy rozwinięciem skończonym. Rozwinięcie takie możemy jednak również traktować jako rozwinięcie okresowe o okresie 0.

5. Sformułowanie i rozwiązanie problemu:

Problem 2.

Czy zawsze okres rozpoczyna się tuż po przecinku? Jeśli nie, to jak określić ilość cyfr, rozwinięcia dziesiętnego  ułamka, między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu ?

W czasie rozwiązywania problemu uczniowie powinni wykonać wiele przykładów na zamianę ułamków zwykłych na dziesiętne i szczegółowo przeanalizować te przykłady w których okres nie rozpoczyna się tuż po przecinku oraz starać się sformułować wniosek.

Odpowiedź:

Ilość cyfr między przecinkiem a okresem równa jest większej z ilości dwójek lub piątek w rozkładzie mianownika ułamka  na czynniki pierwsze.

Uzasadnieniem tej odpowiedzi jest to, że każde dzielenie przez 2 lub przez 5 lub przez 2*5, czyli przez 10, jest skończone i daje jedną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego. Patrz przykłady 5/6, 11/15, 23/60, 133/74.

6. Sformułowanie i rozwiązanie problemu:

Problem 3.  Jaka  jest  własność ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... ?

Uczniowie powinni wykonać przy pomocy programu wiele przykładów zamiany ułamków o mianownikach 9, 99, 999, itd. na ułamki dziesiętne.

Odpowiedź:

Ułamki o mianowniku 9, 99, 999, ... mają okresy złożone z tylu cyfr ile jest dziewiątek w mianowniku. Jednocześnie licznik takiego ułamka jest jego okresem (z ewentualnymi zerami na początku, jeśli ilość cyfr licznika jest mniejsza od ilości cyfr mianownika).

 Np.       1/9 = 0.1111111111111111111111111111111...

              5/9 = 0.5555555555555555555555555555555...

             7/99= 0.0707070707070707070707070707070...

            12/99 = 0.121212121212121212121212121212...

Odpowiedź jest prawidłowa nawet wtedy, gdy ułamek o mianowniku 9, 99, 999, ...skróci się, np. 6/9 = 2/3 = 0,666666666666666666666666666666...

            592/999 = 16/27 = 0.592592592592592592592592592...

7. Sformułowanie i rozwiązanie problemu:

Problem 4.

Jak określić długość okresu ułamka bez wykonywania rozwinięcia dziesiętnego?

Pomysł rozwiązania tego problemu powinna nasunąć odpowiedź do poprzedniego problemu.

Odpowiedź:

Dla ułamków o mianownikach 9, 99, 999,... długość okresu jest równa ilości dziewiątek w tych mianownikach - patrz problem 3. Dla innych ułamków należy wydzielić w mianownikach czynniki 2 i 5, (mają one wpływ na ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego między przecinkiem a okresem), zaś pozostałą część mianownika rozszerzyć do mianownika 9 lub 99 lub 999 itd. a następnie zastosować pierwszą część odpowiedzi.

Przykład 1: Ułamek nieskracalny o mianowniku 22,  po podzieleniu mianownika przez 2, daje mianownik 11, który następnie daje się rozszerzyć do mianownika 99. Zatem długość okresu ułamka nieskracalnego o mianowniku 22 wynosi 2, np., 7/22=0,3(18), 19/22=0,8(63).

Przykład 2: Ułamek nieskracalny o mianowniku 130, po podzieleniu mianownika przez 2*5, daje mianownik 13, który następnie daje się rozszerzyć do mianownika 999999. Zatem długość okresu ułamka nieskracalnego o mianowniku 130 wynosi 6, np. 57/130=0,4(384615), 129/130=0,9(923076).

W związku z powyższą odpowiedzią pojawia się problem, czy każdy mianownik (po wyłączeniu czynników 2 i 5) da się rozszerzyć do liczby 9 lub 99 lub 999 itd. Odpowiedź jest pozytywna - należy odpowiednio zmodyfikować problem 1.

8. Ćwiczenia w wyznaczaniu okresów i długości okresów ułamków.

5.      Podsumowanie lekcji - powtórzenie głównych zagadnień i wniosków

 

6.      Sformułowanie i omówienie pracy domowej:

Zad.1. Wyznaczyć ilość cyfr pomiędzy przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu dla ułamków: .

Zad.2. Wyznaczyć długość okresu ułamka