E - matura z matematyki
Zakres podstawowy
Czas na rozwiązanie: 120 minut

Symbol , pojawiający się w niektórych zadaniach, oznacza pomoc.
Skorzystaj z tej pomocy, gdy nie wiesz, jak rozpocząć zadanie. Za skorzystanie z pomocy tracisz 1 punkt.
Symbol oznacza
pomoc techniczną. Za skorzystanie z tej pomocy nie tracisz punktu.
Po udzieleniu dowolnej odpowiedzi możesz sprawdzić, czy jest ona poprawna, naciskając przycisk "Sprawdź", znajdujący się na końcu strony. Jeśli jednak chcesz rzetelnie sprawdzić swoje przygotowanie do matury, wykorzystaj ten przycisk na zakończenie sprawdzianu.

Odpowiedzi, które nie są liczbami całkowitymi, podawaj w postaci dziesiętnej, zaokrąglonej do dwóch miejsc po przecinku.

W czasie pracy możesz korzystać z kalkulatora systemowego, ale nie możesz korzystać z żadnych innych programów matematycznych.


Zadanie 1 (7 p.)

Dany jest wykres funkcji f(x). Wyróżnione na wykresie punkty mają współrzędne całkowite. 
Odczytaj z wykresu:

funkcja-do-czytania.gif (7763 bytes)

a) dziedzinę funkcji;                                                        
b) zbiór wartości funkcji;
c) wartość funkcji dla x = 4;
d) argument, dla którego wartość funkcji wynosi -3;
e) miejsca zerowe funkcji;
f) przedziały, w których funkcja jest malejąca;
g) przedział, w którym przyjmuje wartości dodatnie.

Zadanie 2 ( 6 p.)

Jeden ze zbiorów zaznaczonych na poniższej osi Ox, składa się z punktów spełniających warunek: –2 < x < 5. 
a) Zapisz ten zbiór za pomocą przedziału.
b) Zmieniając położenie zielonych kółeczek, zaznacz na osi liczbowej zbiór składający się z punktów, spełniających warunek: |x – 4| < 3.
c) Podaj przedział będący iloczynem obu zbiorów.


Zadanie 3 ( 6 p.)

Na rysunku obok, prosta narysowana kolorem czarnym ma równanie y = x + b , b nalezy.gif (842 bytes) CDruga prosta, narysowana kolorem zielonym, ma przeciąć tę prostą w punkcie A = (– 4, –3) i jej równanie ma mieć postać y = 1-2.gif (887 bytes)x + c.
a) Sporządź wykres prostej y = 1-2.gif (887 bytes)x + c.
b) Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie B = (0, b), C = (0, c).
c) Napisz równanie prostej prostopadłej do boku AC trójkąta ABC, przechodzącej przez wierzchołek C.

Zadanie 4 ( 6 p.)

Na wykresie funkcji kwadratowej  y = 1-3-x-do-2.gif (115 bytes)–2 (rysunek obok) zaznaczono wierzchołek i punkt na jednym z ramion.
a)   Zmień położenie tych dwóch punktów tak, aby otrzymać parabolę o równaniu y = x2 + 2x - 3.    
b)   Odczytaj z otrzymanego wykresu najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale [-2, 2].       
c) Dla jakich x wartości funkcji   y = x2 + 2x - 3 są mniejsze od 12?

Zadanie 5 ( 7 p.)

Dana jest tabela podatkowa:

a) W tabeli występują 2 ciągi liczbowe:  
1) 21, 33, 45;    2) 0, 16380, 32760.
Który z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym?
b) Roczne dochody pewnych trzech osób tworzą ciąg arytmetyczny: 15000 zł, 30000 zł i 45000 zł.  Podatki od tych dochodów, obliczone według powyższej skali, wynoszą odpowiednio: 2931,60 zł, 7716,00 zł, 14134,80 zł.
  Czy podatki te tworzą ciąg arytmetyczny?

c) Podaj brakującą wartość w poniższej tabeli podatkowej. (4 p.)


Zadanie 6 (  7 p.)

Dane są dwa wielomiany: w(x) = x3 - 2x2 - x + 2 i  p(x) = x - 2.
a)   Wyznacz wspólne miejsce zerowe tych wielomianów.  
b) Wyznacz taki wielomian q(x), że p(x).q(x) = w(x)      
c) Sporządź wykres funkcji f(x) = x-dziel-p-x.gif (141 bytes).

Zadanie 7 (8 p.)

Dany jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa i przekątna mają długość 8.
Kąt ostry trapezu wynosi 2a, a dwusieczna tego kąta zawiera przekątną.
Określ, czy prawdziwe są następujące zdania:
a)   Kąty trapezu wynoszą: 60°, 60°, 120°, 120°.
b)   Trzy boki trapezu mają równą długość.
c)   W ten trapez można wpisać okrąg.  
d)   Na tym trapezie można opisać okrąg.
e)   Pole trapezu wynosi 4sina(8 + c), gdzie c oznacza długość ramienia.

Zadanie 8 (  6 p.)

Z siatki w kształcie równoległoboku ABCD o podstawie 12 sklejono czworościan foremny.

                       

a)  Wyznacz odległość punktów A i C przed sklejeniem czworościanu.

b) Wyznacz odległość punktów A i C  po sklejeniu czworościanu.

c) Oblicz objętość tego czworościanu.

d) Oblicz miarę kąta dwuściennego tego czworościanu i podaj ją w radianach.



Zadanie 9 (  6 p.)

Rozpatrujemy zjawisko polegające na losowym rozmieszczaniu kul w trzech szufladach.
Przyjmujemy, że sukcesem jest takie rozmieszczenie kul, w którym jedna szuflada jest pusta.

a) Przeprowadź symulację tego zjawiska dla czterech kul (symulację uruchamia się za pomocą przycisku "Losuj" w poniższym panelu). Jaki procent z co najmniej kilkudziesięciu losowań zakończył się sukcesem? Wynik podaj z dokładnością do całości.

b) Oblicz prawdopodobieństwo takiego losowego rozmieszczenia 3 kul w 3 szufladach, aby jedna szuflada była pusta.

 

 


Zadanie 10 ( 6 p.)

Diagram przedstawia wyniki sprawdzianu z matematyki uczniów pewnej klasy.  
a)  Oblicz średnią ocenę uczniów tej klasy.
b) Wyznacz medianę.      
c) Oblicz całkowitą wartość odchylenia standardowego.

Podsumowanie sprawdzianu