E - matura z matematyki
Zakres rozszerzony
Czas na rozwiązanie: 150 minut


Symbol P.gif (954 bytes), pojawiający się w niektórych zadaniach, oznacza pomoc.
Skorzystaj z tej pomocy, gdy nie wiesz, jak rozpocząć zadanie. Za skorzystanie z pomocy tracisz 1 punkt.
Symbol T.gif (952 bytes) oznacza
pomoc techniczną. Za skorzystanie z tej pomocy nie tracisz punktu.
Po udzieleniu dowolnej odpowiedzi możesz sprawdzić, czy jest ona poprawna, naciskając przycisk "Sprawdź", znajdujący się na końcu strony. Jeśli jednak chcesz rzetelnie sprawdzić swoje przygotowanie do matury, wykorzystaj ten przycisk na zakończenie sprawdzianu.

Odpowiedzi, które nie są liczbami całkowitymi, podawaj w postaci dziesiętnej, zaokrąglonej do dwóch miejsc po przecinku.

W czasie pracy możesz korzystać z kalkulatora systemowego, ale nie możesz korzystać z żadnych innych programów matematycznych.


Zadanie 1. (8 p.) 

(Do poleceń z podpunktów a), b) i c) należy wybrać odpowiedni rysunek, zaznaczając polu wyboru poniżej układu współrzędnych.)    
a) Zmień położenie czerwonego i niebieskiego punktu tak, aby otrzymać koło o następujących parametrach:
- środek koła znajduje się w punkcie O = (0, 0);
- promień koła jest liczbą całkowitą mniejszą niż 8;
- do obwodu koła należy przynajmniej jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowite i różne od zera.                          
b) Przekształć niebieskie koło tak, aby otrzymać koło o równaniu  x2 + y2 - 2x + 1 - a mniejsze-lub-rowne.gif (56 bytes) 0, mające dokładnie jeden punkt wspólny z obwodem brązowego koła. (Uwaga: Zadanie ma dwa rozwiązania. Na rysunku przedstaw jedno z nich, natomiast w okienkach dotyczących tego podpunktu podaj obie wartości parametru a.)
c) Przekształć zielone koło tak, aby otrzymać koło o środku w punkcie (0, 0), którego pole jest 5 razy mniejsze od pola brązowego koła oraz napisz jego równanie.
d) Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg x2 + y2 = 25.

Zadanie 2. (6 p.)

Studentowi pozostało 3 lata do ukończenia studiów i na ten okres wziął kredyt studencki w wysokości 24 000 zł. Oprocentowanie kredytu wynosi 5,85% w skali roku, ale za dobre wyniki w nauce obniżono studentowi oprocentowanie do 4%. Student będzie otrzymywał co pół roku transze kredytu w wysokości 4 000 zł i na bieżąco musi co miesiąc spłacać tylko odsetki od tego kredytu. Student postanowił, że po ukończeniu studiów spłaci kredyt w ciągu 2 lat, w miesięcznych ratach malejących (za ten okres musi, oprócz rat kapitałowych, spłacać również odsetki od aktualnego zadłużenia).
a) Ile wyniesie suma odsetek spłaconych przez studenta w czasie studiów?
b) Jaka będzie wysokość dwóch pierwszych rat spłacanych po ukończeniu studiów?
c) Ile wyniesie łączna suma odsetek za ten kredyt?

Zadanie 3. (6 p.)

Rozpatrujemy funkcję kwadratową postaci
f(x) = ax2 + bx + c.
a)   Zmień na rysunku położenie czerwonego i zielonego punktu tak, aby otrzymać wykres funkcji spełniającej następujące warunki:
- suma miejsc zerowych  wynosi 6,
- wartość funkcji w punkcie 0 wynosi 5,
- najmniejsza wartość funkcji wynosi - 4.   
b) Podaj wzór funkcji f(x).
c)   Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie  x0 = 1. 

Zadanie 4. (6 p.)

Rysunek przedstawia pięć początkowych wyrazów ciągu an.

   liczby-trojkatne.gif (7831 bytes)

Wzór rekurencyjny ciągu ma postać: a1 = 1, an = an - 1 + n.
Ze wzoru otrzymujemy następujące wartości wyrazów ciągu:
a
1 = 1;  
a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3;  
a
3 = a2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6;   
a4 = a3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10;   
a
5 = a4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, itd.
a) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu an.
b) Poniższy rysunek przedstawia ciąg bn o wyrazach: 1, 6, 15, 28, itd. Podaj wzór rekurencyjny ciągu bn.
    liczby-ej.gif (7954 bytes)
   
c) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu bn.

Zadanie 5. (8 p.)

Dana jest funkcja f(x) = 1-4xdo3-3-2xdo2p9-4xp4.gif (301 bytes). Uwaga: Wykres na rysunku obok nie jest wykresem tej funkcji, wykorzystasz go do rozwiązania podpunktu d).
a) Określ dziedzinę funkcji f(x).                               
b) Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x).
c) Wyznacz ekstrema funkcji f(x).
d) Sporządź wykres funkcji f(x).

Zadanie 6. (6 p.)

Rysunek przedstawia wykresy funkcji: f(x) = x2 i g(x) = alog2(x + 2) + 1. Punkty A i B, w których przecinają się wykresy tych funkcji, mają współrzędne całkowite. xdo2-i-log-pp-2.gif (5169 bytes)
a) Wyznacz współczynnik a funkcji g(x).
b) Oblicz miejsce zerowe funkcji g(x).
c) Wyznacz funkcję wykładniczą, symetryczną do funkcji g(x) względem prostej AB. Wzór funkcji przedstaw w postaci y = m.2x + k i w odpowiedzi podaj wartości m i k.


Zadanie 7. (8 p.)

Dany jest sześcian o krawędzi a, którego przekątne ścian są krawędziami czworościanu foremnego.

Czy prawdziwe są następujące zdania?

a) Objętość sześcianu jest 3 razy większa od objętości czworościanu.
b) Stosunek powierzchni sześcianu do powierzchni czworościanu wynosi pierw-z-3.gif (89 bytes).
c) Objętość kuli wpisanej w sześcian jest równa objętości kuli stycznej do wszystkich krawędzi czworościanu.  
d) Kąty dwuścienne pomiędzy ścianami sześcianu a ścianami czworościanu wynoszą 45°.

Zadanie 8. (8 p.)

Na rysunku poniżej dany jest wykres funkcji y = sin x.
a) Sporządź wykres funkcji f(x) = 1 - 2sin(2x + pi.gif (74 bytes)).
b) Wyznacz okres funkcji f(x).
c) Wyznacz najmniejsze, dodatnie miejsce zerowe funkcji f(x).
d) Podaj przedział zawarty w (0, pi.gif (74 bytes)), w którym zachodzi nierówność f(x) < 1.

 


Zadanie 9. (8 p.)

Rozpatrujemy schemat Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi 3-5.gif (80 bytes).
a) Uruchom symulację dla n = 5 prób i odczytaj częstość uzyskania co najmniej 3 sukcesów.                               
b)  Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania w pięciu próbach co najmniej 3 sukcesów.
c) Czy łatwiej jest uzyskać 5 sukcesów, wykonując 10 prób, czy 8 sukcesów, wykonując 16 prób? (W odpowiedzi podaj 5 lub 8.)
d) Wyznacz najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów dla 17 prób.

Zadanie 10. (8 p.)

Na zakończenie roku szkolnego obliczono średnią ocen uczniów pewnej 36-osobowej klasy. Otrzymane wyniki przedstawia tabela:

Średnia ocen 3,0 - 3,4 3,5 - 3,9 4,0 - 4,4 4,5 - 4,9
Liczba uczniów 4 12 14 6

a)  Sporządź diagram na podstawie tych danych.
b)   Wyznacz medianę. 
c)    Oblicz średnią arytmetyczną.      
d)    Oblicz odchylenie standardowe.

Podsumowanie sprawdzianu