Proste, krzywe i pochodna funkcji

 

W niniejszym artykule zapoznamy się z ważnym i ciekawym zagadnieniem prostoliniowości krzywych oraz  pojęciem pochodnej funkcji w punkcie. Wykorzystamy do tego celu program komputerowy "Wykresy skalowane".

 

Wykonaj najpierw cztery proste ćwiczenia wprowadzające.

 

Ćwiczenie 1.

Narysuj wykres funkcji liniowej f(x) = 2x-1 (wykorzystaj klawisz „F” i wpisz wzór w postaci: 2*x-1). Określ znaczenie współczynnika kierunkowego 2.

 

Rozwiązanie.

Rys.1. Wykres funkcji  f(x) = 2x-1.

 

Współczynnik kierunkowy 2 oznacza, że kierunek funkcji wynosi 2, tzn. dla przyrostu argumentu o 1 wartość funkcji rośnie o 2.

 

Ćwiczenie 2.

Napisz wzór prostej o współczynniku kierunkowym k przechodzącej przez punkt (x0, y0).

 

Rozwiązanie.

y = kx + b

y0 = kx0 + b

b = y0kx0

y = kx + y0kx0

y = k(xx0) + y0

 

 

Ćwiczenie 3.

Sporządź wykres prostej  (wykorzystaj klawisz „F” i wpisz wzór w postaci: 3/5*x-3/4). Korzystając z opcji przesuwania punktu (krzyżyka) po wykresie, odczytaj współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej oraz sprawdź, że współczynnik kierunkowy rzeczywiście wynosi .

Rozwiązanie.

Rys.2. Wykres prostej .

 

Punkt przecięcia z osią OY:

Punkt przecięcia z osią OX:

Współczynnik kierunkowy:

 

Ćwiczenie 4.

Dana jest parabola f(x) = x2 (wzór x2 wpisz w postaci „x*x”) oraz dwa argumenty: x0 = -1 i x1 = 3. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty paraboli odpowiadające tym argumentom.

 

Rozwiązanie.

 

Współczynnik kierunkowy:

_____________________________________

 

 

 

Teraz przystąpimy do drugiej części naszych rozważań, mianowicie do badania prostoliniowości krzywych.

 

Weźmy funkcję f(x) = x2 i jakiś punkt należący do wykresu tej funkcji, np. punkt o współrzędnych . Popatrzymy na przykładowe proste l1, l2, l3 przechodzące przez ten punkt – rys. 3.

 

Rys.3. Wykres funkcji f(x) = x2 i trzy proste l1, l2, l3

przechodzące przez punkt .

 

Widzimy, że prosta l1 o współczynniku kierunkowym 0.5 oraz prosta l3 o współczynniku kierunkowym –2 przecinają wykres funkcji f(x) = x2 w danym punkcie, natomiast prosta l2 o współczynniku kierunkowym 1,7 ma trudniejsze do określenia położenie. Przecina ona wprawdzie wykres funkcji w danym punkcie, ale wydaje się, że przechodzi również przez pobliskie punkty wykresu, a może nawet pokrywa się z fragmentem wykresu. To właśnie jest istota naszych rozważań. Będziemy chcieli zobaczyć, jak ta prosta przecina się z krzywą, czyli jak to wygląda w małym otoczeniu danego punktu. Pamiętajmy jednak, że będziemy oglądać wykresy zbudowane z pikseli (kropek), które mają pewną „grubość”, tymczasem prawdziwe, matematyczne punkty nie mają żadnej „grubości”, więc jeżeli wyciągniemy jakieś wnioski na podstawie takich rysunków, to będziemy musieli jeszcze uzasadnić je teoretycznie.

 

Narysuj teraz wykres funkcji f(x) = x2 (wzór x2 wpisz w postaci „x*x”). Następnie przesuń punkt (krzyżyk) do punktu  i naciśnij „Enter” – rys. 4.

Rys.4. Funkcja f(x) = x2 i punkt.

 

Aby narysować prostą l2 naciśnij klawisz „P”, a następnie klawiszami „W” i „Q” ustal współczynnik kierunkowy na 1.7 – rys. 5.

 

Rys.5. Funkcja f(x)=x2 i prosta y=1.7*(x-0.75)+0.5625

 

W celu dokładnego obejrzenia otoczenia punktu (x0, y0), powiększamy wykresy przy pomocy klawisza "M" . Wykonując to kilkakrotnie obserwujemy ze zdumieniem, że fragment paraboli staje się coraz bardziej prosty a punkt przecięcia paraboli z prostą jest dokładnie jeden - rys.6.

 

Rys. 6. Parabola f(x) = x2 i prosta y =1.7*(x-0.75)+0.5625

w dużym powiększeniu.

 

Interesujące jest teraz nie tylko to, że zobaczyliśmy punkt przecięcia, lecz przede wszystkim to, że fragment wykresu paraboli coraz bardziej przypomina prostą.

 

Program automatycznie wyznacza dwa skrajne punkty wykresu paraboli leżące na brzegach układu współrzędnych i podaje wartość k, będącą  wartością współczynnika kierunkowego prostej łączącej te dwa punkty. Współczynnik ten przyjmuje w końcu wartość 1.5.

 

Zmieniając klawiszami „W” i „Q” współczynnik kierunkowy a = 1.7 na 1.5 otrzymujemy prostą  y =1.5*(x-0.75)+0.5625, której wykres pokrywa się z prostoliniowym fragmentem paraboli.

 

Zatem liczba 1.5 ma szczególne znaczenie dla funkcji f(x) = x2 i punktu . Można powiedzieć, że funkcja f(x) = x2 ma w bardzo małym otoczeniu punktu (0.75, 0.5625) prostoliniowy przebieg, zgodny z przebiegiem prostej o współczynniku kierunkowym 1.5. W skrócie można powiedzieć, że liczba 1.5 określa kierunek funkcji w tym punkcie.

 

Liczbę 1.5 nazywa się w matematyce pochodną funkcji f(x) = x2 w punkcie 0.75.

 

__________________________________

 

Spróbuj teraz zastanowić się, czy dla każdego punktu paraboli, powiększony fragment wykresu jest prostoliniowy, a więc czy zawsze można określić kierunek funkcji.

 

Wykonując powiększenia paraboli dla innych punktów widzimy, że tak jest. Dla punktu x0 = 1 kierunek funkcji określa liczba 2, dla punktu x0 = -0.5 jest to liczba -1. Sprawdź to, wykonując odpowiednie wykresy i ich powiększenia.

 

Możemy więc sformułować ogólny wniosek: dla każdego punktu paraboli f(x) = x2 istnieje liczba określająca jej prostoliniowy kierunek w tym punkcie.

_____________________________

 

 

Powstaje kolejny ciekawy problem: czy dla innych funkcji zachodzi również taka własność?

 

Weźmy jakąś bardzo "powyginaną" funkcję, np. f(x) = sin(x).

Przy pomocy programu udaje się określić kierunek funkcji w dowolnym punkcie. Np. w punkcie x0 = 1 kierunek funkcji określa liczba 0.54 (jest to jednak wartość przybliżona ponieważ w rzeczywistości jest ona wartością niewymierną i można ją wyznaczyć metodą algebraiczną). Zatem i dla tej funkcji możemy sformułować własność: dla każdego punktu sinusoidy f(x) = sin(x) istnieje liczba określająca jej prostoliniowy kierunek w tym punkcie.

 

__________________________________

 

Wydaje się więc, że odkryliśmy bardzo ważną własność wszystkich funkcji i jesteśmy o krok od odpowiedzi na pytanie: Czy wykres każdej funkcji, w dostatecznie małym otoczeniu każdego punktu , przebiega prostoliniowo, tzn. czy dla każdego punktu istnieje liczba określająca prostoliniowy przebieg funkcji?

 

Odpowiedź, w zasadzie jest pozytywna. Wszystkie "zwykłe" funkcje, takie jak funkcja kwadratowa, wielomianowa, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna i trygonometryczne mają tę własność.

 

Są jednak funkcje, które w pewnych punktach nie posiadają tej własności. Nawet z linii prostej można zbudować funkcję, która w pewnym punkcie nie przebiega prostoliniowo. Wystarczy "złamać" prostą, czyli utworzyć ostrze. Taką czynność "łamiącą" powoduje wartość bezwzględna, np. y =1x1.

Rys. 7. Wykres funkcji y=1x1.

 

Nawet w dostatecznie dużym powiększeniu otoczenia punktu (0, 0) wykres funkcji y=1x1nie przebiega prostoliniowo. Sprawdź to!

 

Również funkcje y =1x2-x-21, y =1cos(x)1 - rys. 8 mają punkty w których wykres nie przebiega prostoliniowo.  Wyznacz te punkty i wykonaj odpowiednie powiększenia.

 

 

Rys. 8. Wykresy funkcji y =1x2-x-21, y =1cos(x)1

 

Zatem, nie każda funkcja ma pochodną we wszystkich punktach.

 

_____________________________

 

 

Wróćmy jeszcze raz do liczby określającej kierunek funkcji w punkcie. Dla funkcji f(x) = x2 i punktu x0 = 0.75 była to liczba 1.5.

W matematyce punkty nie mają „grubości” i sprawa prostoliniowego przebiegu może wyglądać w rzeczywistości zupełnie inaczej niż na ekranie komputera. Określenie, że prosta i parabola pokrywają się w małym otoczeniu punktu, wyprowadzone na podstawie oglądania wykresów nie jest formalne. Spostrzeżenia i wnioski odkryte przed chwilą są jedynie intuicjami i przybliżeniami rzeczywistych sytuacji. Prowadzą jednak one w dobrym kierunku. Gdybyśmy mogli rysować wykresy kropkami 1000 razy mniejszymi, to parabola f(x) = x2, nawet w 1000-ktotnym powiększeniu, nie pokrywałaby się z prostą y = 1.5*(x-0.75)+0.5625. Jednak wtedy moglibyśmy wykonać dalsze powiększenia, i w końcu, np. przy 1000000-krotnym powiększeniu wykresy pokryłyby się. Takie rozumowanie można prowadzić w nieskończoność, a zatem wyznaczenie pochodnej w danym punkcie x­0 wymaga formalnego wyznaczenia granicy ciągu współczynników kierunkowych   dla . W przypadku funkcji f(x) = x2 i punktu x0 = 0.75  obliczenia przebiegają następująco:

.

 

 

Otrzymany wynik jest identyczny jak otrzymany za pomocą programu.

 

Przypomnijmy, jak w ćwiczeniu 1. interpretowaliśmy współczynnik kierunkowy prostej. Była to liczba określająca przyrost wartości funkcji przypadający na jednostkę przyrostu argumentu. Zatem można powiedzieć, że w przypadku naszej funkcji f(x) = x2, na każdą jednostkę przyrostu argumentu, w otoczeniu punktu 0.75, przybywa 1.5 jej wartości. Gdyby więc ktoś zadał nam pytanie, jak szybko przybywa wartość funkcji f(x) = x2 w otoczeniu punktu 0.75, należałoby odpowiedzieć, że z prędkością 1.5 na jednostkę. Zatem liczba 1.5 (pochodna) to nic innego, jak liczba określająca szybkość zmian funkcji f(x) = x2 w otoczeniu punktu 0.75.

 

__________________________________

 

Pochodna ma fundamentalne znaczenie w matematyce i w fizyce. Nazwa pochodna nie jest jednak zbyt szczęśliwa, ponieważ nic nie mówi o kierunku przebiegu funkcji w punkcie, czy szybkości zmian. Niektórzy autorzy próbują zastąpić ją określeniem "lokalny współczynnik skali", ale nazwa "pochodna" przyjęła się tak powszechnie, że nie da się jej już zmienić.

 

Prosta, która przechodzi przez dany punkt wykresu funkcji f(x) i ma współczynnik kierunkowy równy pochodnej funkcji w tym punkcie została nazwana w matematyce styczną. Ta nazwa odzwierciedla dobrze istotę styczności, np. prosta y = 1.5*(x-0.75)+0.5625 styka się z funkcją f(x) = x2 w punkcie x0=0.75, y0=0.5625, a to oznacza, że funkcja ma w tym punkcie kierunek stycznej. Styczność krzywych w jakimś punkcie, to pokrywanie się fragmentów krzywych w małym otoczeniu tego punktu.

 

_____________________________________

 

Na koniec naszych rozważań zobaczmy na dwóch przykładach, jak powyższe rozumienie pochodnej pomaga w interpretacji niektórych zjawisk.

 

Przykład 1.

Niech funkcja s(t) = t2 określa położenie (odległość od ustalonego punktu 0) pewnego ciała poruszającego się po prostej. Jaka jest prędkość ciała w chwili t = 0.75?

 

Rozwiązanie.

Prędkość ciała w danej chwili to szybkość zmian, czyli pochodna. Ponieważ t2 to nic innego jak x2, więc zgodnie z naszymi wcześniejszymi obliczeniami, pochodna tej funkcji w chwili t = 0.75 wynosi 1.5. Oznacza to, że w chwili t = 0.75 przybywa na sekundę 1.5 drogi, a zatem prędkość tego ciała w chwili t = 0.75 wynosi 1.5.

 

Przykład 2.

Załóżmy, że kamień kręcony na sznurku porusza się po okręgu x2 + y2 = 16. W chwili x = 2 urywa się sznurek. W jakim kierunku odleci kamień?

 

Rozwiązanie.

Kamień kręcony na sznurku porusza się po wykresie funkcji f(x) = . W każdym punkcie wykresu funkcja ma kierunek stycznej. Zatem w momencie urwania się sznurka kamień odleci po prostej stycznej - rys. 8. (Dalszego lotu kamienia pod wpływem siły grawitacji nie rozpatrujemy).

 

Rys. 8. Wykres funkcji f(x) = i stycznej w punkcie x = 2.

 

 

Zamość 2006