Schemat i prawo wielkich liczb Bernoulli’ego.

Schemat Bernoulli’ego jest to ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia losowego, w którym obserwujemy zachodzenie ustalonego zdarzenia A. Wynik każdego doświadczenia jest niezależny od innych doświadczeń. Jeżeli wynik ten jest zgodny ze zdarzeniem A to nazywamy go sukcesem, w przeciwnym razie nazywamy go porażką. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie powinno być takie samo, więc każda próba musi odbywać się w tych samych warunkach.

Przykład obliczania prawdopodobieństwa w schematu Bernoulli’ego: Rzucamy 40 razy monetą. Interesującym nas zdarzeniem A niech będzie wypadnięcie orła. Chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo otrzymania, np. 20 orłów. Można zrobić to trzema sposobami: praktycznie, wykonując wielokrotnie serie 40 rzutów monetą, symulacyjnie, wtedy komputer wykonuje wiele serii rzutów oraz teoretycznie, przy pomocy wzorów na prawdopodobieństwo w schemacie Bernoulliego. Do wykonania praktycznego można poprosić grupę uczniów lub słuchaczy biorących udział w zajęciach. Wyniki takiego doświadczenia mogą ułożyć się następująco - rys 1.

Rys.1. Wyniki 40 rzutów monetą dla 30 osób.

Wyniki w tabeli oznaczają, że w grupie 30 osobowej 7 osób uzyskało 20 orłów w 40 rzutach monetą. Zatem częstość otrzymania 20 orłów dla tej grupy wynosi .

Można też wyznaczyć częstość otrzymania 20 orłów w 40 rzutach przy pomocy symulacji wykonanych przez komputer. Odpowiedni do tego program ma postać (program ten znajduje się w pliku sch-Ber.zip):

Program Schemat_Bernouliego_symulacje;
uses graph,crt; const n=40; il_ucz=5000; g=1;
var karta,tryb:integer; k,i,sukces:longInt; Dcz:real; czS,nS:string; tab:array[1..n] of longInt;
begin
karta:=detect; initGraph(karta,tryb,''); randomize; for k:=1 to n do tab[k]:=0; setColor(darkGray);
for k:=0 to 12 do
begin
str(0.01*k:1:2,czS); outTextXY(280-g*n div 2,448-k*25,czS);
line(280-g*n div 2,460-k*25,340+g*n div 2,460-k*25);
end;
setColor(black);
line(315-g*n div 2,479,315-g*n div 2,140); line(280-g*n div 2,460,340+g*n div 2,460); outTextXY(317-g*n div 2,465,'0');
str(n div 2,nS); outTextXY(312,465,nS); str(n,nS); outTextXY(315+g*n div 2,465,nS);
for k:=1 to il_ucz do
begin
sukces:=0;
for i:=1 to n do if random<0.5 then sukces:=sukces+1;
tab[sukces]:=tab[sukces]+1; Dcz:=2500/il_ucz;
line(g*sukces-g*n div 2+320,458-round(Dcz*tab[sukces]-Dcz),g*sukces-g*n div 2+320,458-round(Dcz*tab[sukces]));
if keyPressed then exit;
end;
str(tab[n div 2]/il_ucz:1:4,czS); outTextXY(300,440-round(Dcz*tab[n div 2]),czS);
readLn; closeGraph;
end.

Po uruchamianiu programu dla różnych wartości il_ucz obserwujemy częstości otrzymywania 20 orłów- rys.2. Stała g w programie oznacza gęstość punktów na osi poziomej.

Rys.2. Wyniki symulacji rzutów monetą dla 30, 5000 i 1000000 osób.

gdzie n oznacza ilość prób, k - ilość sukcesów, p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. W tym przypadku otrzymujemy: P = .

Wynik 0,1253 potwierdza, z dokładnością 0.0003 wynik symulacji dla 1000000 uczniów.

Omówimy teraz prawa wielkich liczb Bernoulli’ego. Będziemy wykorzystywać poniższy program komputerowy Schemat_Bernoulli’ego_teoria; który oblicza prawdopodobieństwa uzyskania k orłów w n rzutach monetą i rysuje wykres (rozkład) tych prawdopodobieństw. W czasie uruchamiania programu należy zwracać uwagę jak zmieniają się prawdopodobieństwa wraz ze wzrostem ilości prób n?

Program Schemat_Bernouliego_teoria;
{$N+} uses graph,crt; const n=100; g=1;
var karta,tryb,k:integer; p, dwa_do_n, silnia_n : extended; pS,nS:string;
function silnia (s: integer): extended;
var i: integer; x: extended;
begin
x:=1; for i:=1 to s do x:=x*i; silnia:=x;
end;
function n_po_k(n,k:integer):extended;
begin
n_po_k:=silnia_n/silnia(k)/silnia(n-k);
end;
begin
karta:=detect; initGraph(karta,tryb,''); randomize; setColor(darkGray);
for k:=0 to 12 do
begin
str(0.01*k:1:2,pS); outTextXY(280-g*n div 2,448-k*25,pS);
line(280-g*n div 2,460-k*25,340+g*n div 2,460-k*25);
end;
setColor(white);
line(315-g*n div 2,479,315-g*n div 2,140); line(280-g*n div 2,460,340+g*n div 2,460);
outTextXY(317-g*n div 2,465,'0');
str(n div 2,nS); outTextXY(312,465,nS); str(n,nS); outTextXY(315+g*n div 2,465,nS);
dwa_do_n:=exp(n*ln(2)); silnia_n:=silnia(n);
for k:=0 to n do
begin
p:=n_po_k(n,k)/dwa_do_n; str(p:1:4,pS);
if k=n div 2 then outTextXY(300,440-2*round(1250*p),pS);
if p>1e-4 then line(g*k-g*n div 2+320,459, g*k-g*n div 2+320,459-2*round(1250*p));
end;
readLn; closeGraph;
end.

Rozwiązaniem problemu jest poniższa seria wykresów.

Rys.3. Wykresy prawdopodobieństw w schemacie Bernoulli’ego dla 100, 500, 1000 i 1500 rzutów monetą.

Wniosek: 4. Maksymalne wysokości kolejnych wykresów - rys.3 a,b,c,d, czyli prawdopodobieństwa zdarzeń, że połowa rzutów będzie orłami, są coraz mniejsze. Oznacza to, że im więcej razy rzucamy monetą, tym coraz rzadziej możemy oczekiwać, że dokładnie połowa rzutów to orły

Wniosek: 5. Szerokości zacieniowanych obszarów, w których suma prawdopodobieństw jest bliska 1, są coraz większe, ale ich stosunek do całej długości przedziału jest coraz mniejszy. Np. dla 100 rzutów, szerokość ta zajmuje 30% całego przedziału, dla 500 rzutów zajmuje 15%, dla 1000 rzutów zajmuje 10%, a dla 1500 rzutów tylko 8%. Oznacza to, że im więcej razy rzucamy monetą, tym bardziej liczba uzyskanych sukcesów mieści się w proporcjonalnie węższym przedziale wokół , czyli liczba dąży do . (Nie oznacza to jednak, że k dąży do )

Wniosek 5 odzwierciedla głęboką myśl matematyczną, mianowicie taką, że w zjawiskach losowych, przy bardzo dużej liczbie prób, otrzymamy taką ilość sukcesów k , że częstość jest praktycznie równa prawdopodobieństwu sukcesu w pojedynczej próbie. Formalnie prawo to można zapisać:.