W niniejszym artykule zbadamy ciekawe zagadnienie dotyczące wzajemnego położenia prostych i krzywych. Zagadnienie to doprowadzi nas do ważnego pojęcia pochodnej. Do zbadania tych zagadnień wykorzystamy kalkulator graficzny TI 92.

Ćw. 1. Narysować na kalkulatorze wykres funkcji liniowej y=2x-1 wraz z siatką układu współrzędnych. Obrać dowolny przyrost argumentu i zaznaczyć dla niego odpowiedni przyrost wartości funkcji. Podać wartość współczynnika kierunkowego prostej i objaśnić jego znaczenie.

Ćw. 2. Napisz równania i narysuj kilka prostych przechodzących przez punkt (3,Ö2).

, ,

---

Teraz przystąpimy do zasadniczej części naszych rozważań, mianowicie do badania wzajemnego położenia prostych i krzywych.

Weźmy, jako pierwszą krzywą, parabolę będącą wykresem funkcji f(x)=x² . Na wykresie weźmy jakiś punkt, np. punkt o współrzędnych x_o=0.75, y_o=0.5625 (rozważania przeprowadzone dla tego punktu będzie można powtórzyć dla każdego innego punktu a wyprowadzone wnioski będą słuszne dla wszystkich punktów należących do wykresu danej funkcji).

Popatrzymy na rys. 4. Przedstawia on wykres funkcji f(x)=x² i sześć prostych a, b, c, d, e, f przechodzących przez punkt x_o=0.75, y_o=0.5625.

Rys.4. Wykres funkcji f(x)=x² i proste przechodzące przez punkt x_o=0.75, y_o=0.5625.

Widzimy, że proste a, b, c, f przecinają wykres funkcji f(x)=x² w danym punkcie x_o=0.75, y_o=0.5625, natomiast proste d i e mają trudniejsze do określenia położenie. Przecinają one wykres funkcji w danym punkcie i wydaje się, że przechodzą jeszcze przez pobliskie punkty wykresu a może nawet pokrywają się z fragmentem wykresu. To właśnie jest istota naszych rozważań. Chcemy dokładnie zobaczyć jak proste d i e przebiegają w stosunku do wykresu paraboli. Będziemy to robić tak jak, np. robi to biolog, który chcąc poznać jakiś mały organizm stosuje mikroskop. My zastosujemy "matematyczny mikroskop", czyli powiększanie wykresu funkcji. Pamiętajmy jednak, że biolog ogląda przez mikroskop coś, co istnieje naprawdę, co ma wymiary, natomiast my będziemy oglądać punkty, które w rzeczywistości nie mają ani masy ani wymiaru i które tylko umownie rysujemy na kartce lub na ekranie kalkulatora w postaci kropki. Jeżeli wyciągniemy jakieś wnioski na podstawie wykonanego rysunku, to będziemy musieli jeszcze pomyśleć, jak to jest w teorii matematycznej, w której punkt nie ma wymiaru.

Narysujemy teraz wykres funkcji f(x)=x², zaznaczymy na wykresie punkt x_o=0.75, y_o=0.5625, naszkicujemy jedną z prostych, np. prostą d przechodzącą przez ten punkt, a na koniec powiększymy oba wykresy, aby dokładnie zobaczyć wzajemne położenie prostej i paraboli. Wykres funkcji f(x)=x² i punkt x_o=0.75, y_o=0.5625 przedstawia rys.5.

Do narysowania prostej wykorzystamy równanie y=a(x-x_o)+y_o z ćw. 2. Określa ono równanie dowolnej prostej przechodzącej przez punkt (x₀,y₀). Z rys.4 widać, że współczynnik kierunkowy prostej d wynosi około 1.7. Wpisujemy więc dane: x_o=0.75, y_o=0.5625 oraz a=1.7 i otrzymujemy prostą g(x)=1.7*(x-0.75)+0.5625 - rys. 6. Widzimy, że wykres prostej częściowo pokrywa się z wykresem paraboli a to utrudnia dokładne określenie położenia prostej względem krzywej. Zatem, w celu dokładnego obejrzenia otoczenia punktu (x₀,y₀), powiększamy, przy pomocy opcji "F2 Zoom - Zoom In" , wykresy prostej i paraboli. Wykonując to kilkakrotnie obserwujemy, że wykres paraboli jest coraz bardziej prosty a punkt przecięcia paraboli z prostą jest dokładnie jeden - rys.7.

Interesujące jest teraz nie tylko to, że wykresy przecinają się w jednym punkcie, lecz przede wszystkim to, że fragment wykresu paraboli jest prosty. A jeśli tak, to istnieje prosta, której wykres pokrywa się z tym prostoliniowym fragmentem paraboli. Spróbujmy ją znaleźć. Wystarczy w tym celu zmienić współczynnik kierunkowy prostej g(x)=1.7*(x-0.75)+0.5625 z 1.7 na 1.5 i już otrzymujemy pokrywające się wykresy - rys. 8. Zatem liczba 1.5 ma szczególne znaczenie dla funkcji f(x)=x² w punkcie x_o=0.75, y_o=0.5625. Mianowicie, jest ona współczynnikiem kierunkowym prostej pokrywającej się z fragmentem wykresu paraboli. Można to wyrazić inaczej, że funkcja f(x)=x² ma w małym otoczeniu punktu x₀=0.75 prostoliniowy przebieg, zgodny z przebiegiem prostej o współczynniku kierunkowym równym 1.5.

Wykonując samodzielnie następne przykłady można się przekonać, że tak jest. Dla punktu x₀=1 jest to liczba 2. Dla punktu x₀=-0.5 jest nią liczba -1. Dla innych punktów będzie podobnie, ponieważ nie widać powodów, aby w innych punktach parabola miała inne własności.

Możemy więc sformułować ogólną własność: dla każdego punktu paraboli f(x)=x² istnieje liczba określająca kierunek jej prostoliniowego przebiegu w otoczeniu tego punktu.

Przy pomocy opcji opcji "F2 Zoom - Zoom In" udaje się zobaczyć, że powiększony fragment sinusoidy jest prosty - rys. 10, 11, 12, oraz znaleźć równanie odpowiedniej prostej. Np. dla x₀=1 szukaną prostą jest g(x)=0.54*(x-1)+0.841470984808 - rys.12.

Zatem i dla funkcji y=sin(x) możemy sformułować, analogiczną jak dla paraboli, własność: dla każdego punktu sinusoidy istnieje liczba określająca kierunek jej prostoliniowego przebiegu w otoczeniu danego punktu.

Wydaje się więc, że odkryliśmy bardzo ważną i ciekawą własność wszystkich funkcji i jesteśmy o krok od odpowiedzi na pytanie: Czy wykres każdej funkcji, w dostatecznie małym przedziale, przebiega prostoliniowo? Odpowiedź, w zasadzie jest pozytywna. Wszystkie "zwykłe" funkcje, takie jak kwadratowe, wielomianowe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne i wszelkie ich złożenia posiadają tę własność. Są jednak funkcje, które w jakimś punkcie nie mają tej własności. Nawet z prostej funkcji liniowej można zbudować funkcję, która w pewnym punkcie nie przebiega prostoliniowo. Wystarczy "złamać" prostą i w punkcie "złamania" utworzyć "ostrze", które w żadnym powiększeniu nie da prostej. Taką czynność "łamiącą" powoduje wartość bezwzględna. Np. ˝ x˝ , ˝ x²-x-2˝ , ˝ cos(4x) ˝ - rys. 13, 14, 15 - w punktach tworzących "ostrza" , nawet w dostatecznie dużym powiększeniu, wykresy nie przebiegają prostoliniowo.

Przypomnijmy, że dla funkcji f(x)=x² i punktu x₀=0.75 była to liczba 1.5. W teorii matematycznej, w której punkt nie ma wymiaru sprawa może wyglądać zupełnie inaczej niż na ekranie kalkulatora. Określenie, że wykresy prostej i paraboli pokrywają się w małym otoczeniu punktu, wyprowadzone na podstawie oglądania "grubych" wykresów nie jest precyzyjne. Spostrzeżenia i hipotezy odkryte przed chwilą są jedynie intuicjami i przybliżeniami rzeczywistych sytuacji. Prowadzą one jednak w dobrym kierunku. Gdybyśmy mogli rysować wykresy 1000 razy "cieńsze" to parabola, nawet w 1000-ktotnym powiększeniu, nie pokrywałyby z odpowiednią prostą. Jednak wtedy moglibyśmy również wykonać dalsze powiększenia, i w końcu, np. przy 1000000-krotnym powiększeniu wykresy pokryłyby się. Itd.

Jak więc jest naprawdę, w prawdziwej rzeczywistości matematycznej. Oczywiście punkty paraboli y=x², oprócz punktu przecięcia x₀=0.75, y₀=0.5625, w żadnym skończonym powiększeniu nie pokrywają się dokładnie z punktami prostej g(x)=1.5*(x-0.75)+0.5625. Możemy się o tym przekonać wykonując odpowiednie obliczenia dla trzech punktów, analogicznie jak to zrobiliśmy w ćw. 3. Wybieramy trzy dowolne punkty na wykresie paraboli, np. A=(0.75, 0.5625), B=(0.7505, 0.56325025), C=(0.7516, 0.56490256) i otrzymujemy: AB=0.000901595842104, BC=0.00198497565126, AB+BC=0.00288657149336, AC=0.00288657141841. Widać więc, że suma odległości AB+BC różni się, począwszy od 11-go miejsca po przecinku, od odległości AC, czyli punkty A, B, C nie są jednak współliniowe. Odpowiednie im punkty A', B', C' prostej są jednak bardzo blisko, mianowicie:

A'=(0.75, 0.5625), B'=(0.7505, 0.56325), C'=(0.7516, 0.5649).

Rzędne punktów A i A', B i B', C i C' różnią się więc nie więcej niż 0.000001. Im mniejsze otoczenie punktu przecięcia weźmiemy, tym bliżej paraboli przebiega prosta, tym bardziej dokładnie prosta przybliża przebieg paraboli. Można powiedzieć, że prosta g(x)=1.5*(x-0.75)+0.5625 określa kierunek paraboli w punkcie 0.75. Robi to ona najlepiej ze wszystkich prostych przechodzących przez ten punkt i żadna inna prosta nie zrobi tego lepiej. Liczba 1.5 jest najlepszym ze wszystkich współczynników kierunkowych określających kierunek funkcji f(x)=x² w punkcie 0.75.

Przypomnijmy, jak w ćw. 1 interpretowaliśmy współczynnik kierunkowy prostej. Była to liczba określająca przyrost wartości funkcji przypadający na jednostkę przyrostu argumentu. Zatem można powiedzieć, że w przypadku naszej funkcji y=x², na każdą jednostkę przyrostu argumentu, w otoczeniu punktu 0.75, przybywa 1.5 jej wartości. Gdyby więc ktoś zadał nam pytanie, jak szybko przybywa wartość funkcji f(x)=x² w otoczeniu punktu 0.75, należałoby odpowiedzieć, że z prędkością 1.5 wartości na jednostkę. Zatem liczba 1.5 to nic innego, jak liczba określająca szybkość zmian wartości funkcji y=x² w otoczeniu punktu 0.75.

Liczba ta (współczynnik kierunkowy odpowiedniej prostej określający szybkość zmian wartości funkcji) ma fundamentalne znaczenie w matematyce a za pośrednictwem matematyki w wielu dziedzinach nauki. Otrzymała ona swoją specjalną nazwę - pochodna. Nazwa ta nie jest zbyt szczęśliwa, ponieważ nie odzwierciedla istoty zagadnienia, czyli kierunku przebiegu funkcji w punkcie, a co za tym idzie, szybkości zmian funkcji. Niektórzy autorzy podręczników próbują zastąpić ją określeniem "lokalny współczynnik skali", ale nazwa "pochodna" przyjęła się tak powszechnie, że nie da się jej już zmienić. Prosta, która przechodzi przez dany punkt wykresu funkcji f(x) i ma współczynnik kierunkowy równy pochodnej funkcji w tym punkcie nazywa się styczną. Ta nazwa jest już bardziej odpowiednia. Rzeczywiście prosta g(x)=1.5*(x-0.75)+0.5625 "styka" się z funkcją f(x)=x² w punkcie o współrzędnych x₀=0.75, y₀=0.5625.

Przykład 1. Przyjmijmy, że funkcja f(t)=t² określa położenie pewnego ciała poruszającego się po prostej w zależności od czasu t. Np. po 1/2 sekundy ciało znajduje się w odległości (1/2)²=1/4 m od punktu 0, po 3/4 sekundy w odległości (3/4)²=9/16 m od punktu 0, itd. Jaka jest prędkość ciała w chwili t=0.75s?

Przykład 2. Niech kamień kręcony na sznurku porusza się po okręgu x²+y²=1. W chwili, gdy x=0.5 urywa się sznurek. W jakim kierunku poleci kamień?