Temat: Funkcja kwadratowa i jej własności. (liceum) fun-kw.doc - 51 kB
Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia funkcji kwadratowej jako iloczynu dwóch funkcji liniowych oraz zapoznanie z własnościami funkcji kwadratowej.
Przebieg lekcji:
1. Ćwiczenia przygotowawcze i wprowadzające.
Ćw.1. Dane są dwa odcinki o długościach a i b oraz odcinek o długości 1.
Skonstruuj odcinek o długości x=a*b.
Rozwiązanie: Przekształcając wyrażenie x=a*b do postaci 1/a=b/x i wykorzystując tw.
Talesa i program CABRI,
otrzymujemy konstrukcję iloczynu x=a*b jak na rys.1.
Rys. 1. Konstrukcja iloczynu a*b dla a=1.6 i b=3.4.
Ćw.2. Dany jest odcinek o stałej długości a oraz odcinek o zmiennej długości x. Zbadaj, jak zmienia się iloczyn a*x w zależności od x. Rozwiązanie: Rys.2.
Rys.2. Iloczyn a*x, przy zmiennym x, przedstawia prostą.
Ćw.3. Dane są dwa odcinki o zmiennych długościach x i 1/2x. Zbadaj jak
zmienia się iloczyn x*(1/2x) w zależności od x.
Rozwiązanie: Rys.3.
Rys.3. Iloczyn x*(1/2x), czyli funkcja kwadratowa y=1/2x2, ma wykres zwany parabolą.
2. Własności funkcji kwadratowej y=ax2.
Do wyprowadzenia własności funkcji kwadratowej y=ax2
wykorzystujemy program ALGEBRA
II, dostarczany do szkół z pracowniami Macintosh. W programie tym bardzo wygodnie i
szybko można uzyskiwać wykresy iloczynów funkcji liniowych. W tym celu sporządzamy
wykresy iloczynów funkcji liniowych - rysunki 4, 5, 6, 7. Gotowe wykresy można pobrać z
pliku fun-kw.zip - 65 kB.
Rys.4. Funkcja y=1/2x2 jako iloczyn funkcji y=1/2x i y=x |
Rys.5. Funkcja y=2x2 jako iloczyn funkcji y=2x i y=x |
Rys.6. Funkcja y=-1/2x2 jako iloczyn funkcji y=-1/2x i y=x |
Rys.7. Funkcja y=-2x2 jako iloczyn funkcji y=2x i y=-x |
Własność 1. Ramiona paraboli, dla a>0, są skierowane w górę i przebiegają tym bardziej stromo im większy jest współczynnik a.
Własność 2. Funkcja kwadratowa y=ax2, dla a>0, ma najmniejszą wartość, nie ma natomiast wartości największej. Najmniejsza wartość występuje w wierzchołku paraboli.
Własność 3. Jeżeli współczynnik przy x2 jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół.
Własność 4. Funkcja kwadratowa y=ax2, dla a<0, ma największą wartość, nie ma natomiast wartości najmniejszej. Największa wartość występuje w wierzchołku paraboli.
3. Ćwiczenia dotyczące własności funkcji kwadratowej y=ax2.
Ćw. 4. Wykonać ręcznie wykresy funkcji y=ax2 dla różnych
wartości a.
Rozwiązanie: Wykorzystujemy narzędzie "ołówek" w programie ALGEBRA II,
najpierw rysujemy wykres - rys.8, a następnie sprawdzamy jego poprawność - rys.9.
|
|
Rys.8. Ręcznie wykonany wykres funkcji y=2x2 |
Rys.9. Sprawdzenie poprawoności wykresu y=2x2 |
Ćw. 5. Dopasować kształt paraboli do podanego wzoru funkcji
kwadratowej y=0.5x2.
Rozwiązanie: Rys.10 i rys.11.
Rys.10. Parabola źle dopasowana do wzoru 0.5x2 |
Rys.11. Parabola dobrze dopasowana do wzoru 0.5x2 |
4. Własności funkcji kwadratowej y=x2+bx+c.
Funkcję kwadratową y=x2+bx+c wprowadzamy jako sumę funkcji
kwadratowej y=x2 i funkcji liniowej y=bx+c. (Nie można skorzystać, tak jak
poprzednio, z iloczynu funkcji liniowych, ponieważ nie otrzymamy wtedy wszystkich funkcji
kwadratowych. Są bowiem takie funkcje kwadratowe, np. y=x2-x+2, których nie
są iloczynem funkcji liniowych.)
Sumowanie funkcji jest bardzo proste, wystarczy dodawać wartości funkcji tak jak dodaje
się odcinki, pamiętając, że dla ujemnych wartości należy odcinki odjąć. Program
ALGEBRA II wykonuje to automatycznie.
Aby dostrzec najistotniejsze własności funkcji y=x2+bx+c należy wykonać,
przy pomocy tego programu, wiele sumowań funkcji y=x2 i y=bx+c . Rysunki 12,
13, 14, 15 przedstawiają takie sumowania.
Rys.12. Wykres funkcji y=x2+x jako suma funkcji y=x2 i y=x |
Rys.13. Wykres funkcji y=x2+4x jako suma funkcji y=x2 i y=4x |
|
|
Rys.14. Wykres funkcji y=x2+x-3 jako suma funkcji y=x2 i y=x-3 |
Rys.13. Wykres funkcji y=x2+4x+2 jako suma funkcji y=x2 i y=4x+2 |
Analizując otrzymane wykresy dochodzimy do sformułowania następujących własności:
Własność 4. Wyraz wolny c funkcji kwadratowej y=x2+bx+c oznacza wielkość przesunięcia paraboli y=x2+bx wzdłuż osi OY. Ponieważ parabola y=x2+bx przechodzi przez punkt (0,0) więc jest to równocześnie punkt przecięcia funkcji y=x2+bx+c z osią OY.
Własność 5. Liczba -b/2 oznacza wartość współrzędnej x wierzchołka paraboli y=x2+bx+c. W tym punkcie funkcja ma najmniejszą wartość. Współrzędną y wierzchołka wyznaczamy, wstawiając za x wartość -b/2 do wzoru funkcji.
Z powyższych własności wynika praktyczny wniosek: aby narysować
wykresy funkcji kwadratowej f(x)=x2+bx+c, wystarczy przesunąć parabolę y=x2
tak, aby jej wierzchołek znalazł się w punkcie (-b/2, f(-b/2)).
5. Ćwiczenia dotyczące własności funkcji kwadratowej y=x2+bx+c.
Ćw. 6. Dopasować kształt paraboli do podanego wzoru funkcji kwadratowej
y=x2-x-2.
Rozwiązanie: Rys.16 i rys.17.
Rys.16. Parabola źle dopasowana do wzoru x2-x-2 |
Rys.17. Parabola dobrze dopasowana do wzoru x2-x-2 |
Ćw. 7. Wyznacz taką liczbę x, aby suma tej liczby i jej kwadratu miała
wartość zero.
Rozwiązanie: Wyznaczamy miejsca zerowe sumy x2+x. Są dwie takie liczby, x=0 i
x=-1.
Ćw. 8. Uogólnij ćw. 7 rozważając sumę x2+bx.
Rozwiązanie: Suma x2+bx ma wartość 0 dla x=0 i x=-b.
Ćw. 9. Wyznacz taką liczbę x, aby suma tej liczby i jej kwadratu miała
możliwie najmniejszą wartość.
Rozwiązanie: Korzystamy z własności funkcji y=x2+bx+c, że najmniejsza
wartość występuje w wierzchołku. Zatem x=-b/2=-1/2.
Ćw. 10. Parabolę y=x2 przesunięto tak, że jej wierzchołek
znalazł się w punkcie (0, -2). Napisz równanie tej paraboli i oblicz jej miejsca
zerowe.
Rozwiązanie: Równanie paraboli ma postać y=x2-2. Rozwiązując równanie x2-2=0
i otrzymujemy x1=21/2 , x2=-21/2.
Ćw. 11. Uogólnij ćw. 10 dla punktu (0, c).
Rozwiązanie: Równanie paraboli ma postać y=x2-c. Miejsca zerowe istnieją
dla c<0; x1=(-c)1/2 , x2=-(-c)1/2.
Ćw. 12. Parabolę y=x2 przesunięto tak, że jej wierzchołek
znalazł się w punkcie (3, -2). Oblicz jej miejsca zerowe.
Rozwiązanie: W ćw.10 obliczono miejsca zerowe paraboli, której wierzchołek
przesunięto do punktu (0, -2). Jeżeli taką parabolę przesuniemy teraz o 3 jednostki do
punktu (3, -2) to również o 3 jednostki przesuną się jej miejsca zerowe. Ostatecznie
więc miejsca zerowe wynoszą: x1=21/2+3, x2=-21/2+3.
6. Własności funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c.
Funkcję kwadratową y=ax2+bx+c wprowadzamy jako sumę funkcji
kwadratowej y=ax2 i funkcji liniowej y=bx+c.
Wszystkie własności funkcji y=ax2+bx+c są analogiczne do własności funkcji
y=x2+bx+c z tym zastrzeżeniem, że wszędzie, gdzie była mowa o funkcji x2
teraz podstawiamy ax2. Wykonując odpowiednie wykresy i analizując ich
położenie otrzymujemy następujące własności:
Własność 6. Wyraz wolny c funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c oznacza wielkość przesunięcia paraboli y=ax2+bx wzdłuż osi OY. Ponieważ parabola y=ax2+bx przechodzi przez punkt (0,0) więc jest to równocześnie punkt przecięcia funkcji y=ax2+bx+c z osią OY.
Własność 7. Liczba -b/(2a) oznacza wartość współrzędnej x wierzchołka paraboli y=ax2+bx+c. W tym punkcie funkcja ma najmniejszą wartość. Współrzędną y wierzchołka wyznaczamy, wstawiając za x wartość -b/(2a) do wzoru funkcji.
Z powyższych własności wynika praktyczny wniosek: aby narysować wykresy funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c, wystarczy przesunąć parabolę y=ax2 tak, aby jej wierzchołek znalazł się w punkcie (-b/(2a), f(-b/2)).
Ćw. 13. Oblicz pierwiastki równania ax2+bx+c=0.
Rozwiązanie: Pzekształcamy równanie ax2+bx+c=0 do postaci x2+b/a*x+c/a=0 i korzystamy ze sposobu podanego w ćw.12. Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy: x1=(-b-(b2 -4ac)1/2)/(2a) i x2=(-b+(b2 -4ac)1/2)/(2a), gdzie b2 -4ac>0.
Opracował: Eugeniusz Jakubas