Temat: Funkcja kwadratowa i jej własności. (liceum)                                fun-kw.doc - 51 kB

Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia funkcji kwadratowej jako iloczynu dwóch funkcji liniowych oraz zapoznanie z własnościami funkcji kwadratowej.

Przebieg lekcji:

1. Ćwiczenia przygotowawcze i wprowadzające.

Ćw.1. Dane są dwa odcinki o długościach a i b oraz odcinek o długości 1. Skonstruuj odcinek o długości x=a*b.
Rozwiązanie: Przekształcając wyrażenie x=a*b do postaci 1/a=b/x i wykorzystując tw. Talesa i program CABRI, otrzymujemy konstrukcję iloczynu x=a*b jak na rys.1.

Rys. 1. Konstrukcja iloczynu a*b dla a=1.6 i b=3.4.

Ćw.2. Dany jest odcinek o stałej długości a oraz odcinek o zmiennej długości x. Zbadaj, jak zmienia się iloczyn a*x w zależności od x. Rozwiązanie: Rys.2.

 

Rys.2. Iloczyn a*x, przy zmiennym x, przedstawia prostą.  

Ćw.3. Dane są dwa odcinki o zmiennych długościach x i 1/2x. Zbadaj jak zmienia się iloczyn x*(1/2x) w zależności od x.
Rozwiązanie: Rys.3.

                                                                                                                             

Rys.3. Iloczyn x*(1/2x), czyli funkcja kwadratowa y=1/2x², ma wykres zwany parabolą.  

 2. Własności funkcji kwadratowej y=ax².

Do wyprowadzenia własności funkcji kwadratowej y=ax² wykorzystujemy program ALGEBRA II, dostarczany do szkół z pracowniami Macintosh. W programie tym bardzo wygodnie i szybko można uzyskiwać wykresy iloczynów funkcji liniowych. W tym celu sporządzamy wykresy iloczynów funkcji liniowych - rysunki 4, 5, 6, 7. Gotowe wykresy można pobrać z pliku fun-kw.zip - 65 kB.

Rys.4. Funkcja y=1/2x2 jako iloczyn funkcji y=1/2x i y=x	Rys.5. Funkcja y=2x2 jako iloczyn funkcji y=2x i y=x

   

Rys.6. Funkcja y=-1/2x2 jako iloczyn funkcji y=-1/2x i y=x	Rys.7. Funkcja y=-2x2 jako iloczyn funkcji y=2x i y=-x

 

Własność 1. Ramiona paraboli, dla a>0, są skierowane w górę i przebiegają tym bardziej stromo im większy jest współczynnik a.

Własność 2. Funkcja kwadratowa y=ax², dla a>0, ma najmniejszą wartość, nie ma natomiast wartości największej. Najmniejsza wartość występuje w wierzchołku paraboli.

Własność 3. Jeżeli współczynnik przy x² jest ujemny to ramiona paraboli są skierowane w dół.

Własność 4. Funkcja kwadratowa y=ax², dla a<0, ma największą wartość, nie ma natomiast wartości najmniejszej. Największa wartość występuje w wierzchołku paraboli.

3. Ćwiczenia dotyczące własności funkcji kwadratowej y=ax².

 Ćw. 4. Wykonać ręcznie wykresy funkcji y=ax² dla różnych wartości a.
 Rozwiązanie: Wykorzystujemy narzędzie "ołówek" w programie ALGEBRA II, najpierw rysujemy wykres - rys.8, a następnie sprawdzamy jego poprawność - rys.9.  

Rys.8. Ręcznie wykonany wykres funkcji y=2x2	Rys.9. Sprawdzenie poprawoności wykresu y=2x2

   Ćw. 5. Dopasować kształt paraboli do podanego wzoru funkcji kwadratowej y=0.5x².
 Rozwiązanie: Rys.10 i rys.11.  

Rys.10. Parabola źle dopasowana do wzoru 0.5x2	Rys.11. Parabola dobrze dopasowana do wzoru 0.5x2

 4. Własności funkcji kwadratowej y=x²+bx+c.
 

 Funkcję kwadratową y=x²+bx+c wprowadzamy jako sumę funkcji kwadratowej y=x² i funkcji liniowej y=bx+c. (Nie można skorzystać, tak jak poprzednio, z iloczynu funkcji liniowych, ponieważ nie otrzymamy wtedy wszystkich funkcji kwadratowych. Są bowiem takie funkcje kwadratowe, np. y=x²-x+2, których nie są iloczynem funkcji liniowych.)
Sumowanie funkcji jest bardzo proste, wystarczy dodawać wartości funkcji tak jak dodaje się odcinki, pamiętając, że dla ujemnych wartości należy odcinki odjąć. Program ALGEBRA II wykonuje to automatycznie.
Aby dostrzec najistotniejsze własności funkcji y=x²+bx+c należy wykonać, przy pomocy tego programu, wiele sumowań funkcji y=x² i y=bx+c . Rysunki 12, 13, 14, 15 przedstawiają takie sumowania.  

Rys.12. Wykres funkcji y=x2+x jako suma funkcji y=x2 i y=x	Rys.13. Wykres funkcji y=x2+4x jako suma funkcji y=x2 i y=4x

   

Rys.14. Wykres funkcji y=x2+x-3 jako suma funkcji y=x2 i y=x-3	Rys.13. Wykres funkcji y=x2+4x+2 jako suma funkcji y=x2 i y=4x+2

   Analizując otrzymane wykresy dochodzimy do sformułowania następujących własności:

 Własność 4. Wyraz wolny c funkcji kwadratowej y=x²+bx+c oznacza wielkość przesunięcia paraboli y=x²+bx wzdłuż osi OY. Ponieważ parabola y=x²+bx przechodzi przez punkt (0,0) więc jest to równocześnie punkt przecięcia funkcji y=x²+bx+c z osią OY.

 Własność 5. Liczba -b/2 oznacza wartość współrzędnej x wierzchołka paraboli y=x²+bx+c. W tym punkcie funkcja ma najmniejszą wartość. Współrzędną y wierzchołka wyznaczamy, wstawiając za x wartość -b/2 do wzoru funkcji.

 Z powyższych własności wynika praktyczny wniosek: aby narysować wykresy funkcji kwadratowej f(x)=x²+bx+c, wystarczy przesunąć parabolę y=x² tak, aby jej wierzchołek znalazł się w punkcie (-b/2, f(-b/2)).
 

 5. Ćwiczenia dotyczące własności funkcji kwadratowej y=x²+bx+c.

 Ćw. 6. Dopasować kształt paraboli do podanego wzoru funkcji kwadratowej y=x²-x-2.
 Rozwiązanie: Rys.16 i rys.17.   

Rys.16. Parabola źle dopasowana do wzoru x2-x-2	Rys.17. Parabola dobrze dopasowana do wzoru x2-x-2

Ćw. 7. Wyznacz taką liczbę x, aby suma tej liczby i jej kwadratu miała wartość zero.
Rozwiązanie: Wyznaczamy miejsca zerowe sumy x²+x. Są dwie takie liczby, x=0 i x=-1.

 Ćw. 8. Uogólnij ćw. 7 rozważając sumę x²+bx.
Rozwiązanie: Suma x²+bx ma wartość 0 dla x=0 i x=-b.

 Ćw. 9. Wyznacz taką liczbę x, aby suma tej liczby i jej kwadratu miała możliwie najmniejszą wartość.
Rozwiązanie: Korzystamy z własności funkcji y=x²+bx+c, że najmniejsza wartość występuje w wierzchołku. Zatem x=-b/2=-1/2.

 Ćw. 10. Parabolę y=x² przesunięto tak, że jej wierzchołek znalazł się w punkcie (0, -2). Napisz równanie tej paraboli i oblicz jej miejsca zerowe.
Rozwiązanie: Równanie paraboli ma postać y=x²-2. Rozwiązując równanie x²-2=0 i otrzymujemy x₁=2^1/2 , x₂=-2^1/2.

 Ćw. 11. Uogólnij ćw. 10 dla punktu (0, c).
Rozwiązanie: Równanie paraboli ma postać y=x²-c. Miejsca zerowe istnieją dla c<0; x₁=(-c)^1/2 , x₂=-(-c)^1/2.

 Ćw. 12. Parabolę y=x² przesunięto tak, że jej wierzchołek znalazł się w punkcie (3, -2). Oblicz jej miejsca zerowe.
Rozwiązanie:  W ćw.10 obliczono miejsca zerowe paraboli, której wierzchołek przesunięto do punktu (0, -2). Jeżeli taką parabolę przesuniemy teraz o 3 jednostki do punktu (3, -2) to również o 3 jednostki przesuną się jej miejsca zerowe. Ostatecznie więc miejsca zerowe wynoszą: x₁=2^1/2+3, x₂=-2^1/2+3.

 6. Własności funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c.

 Funkcję kwadratową y=ax²+bx+c wprowadzamy jako sumę funkcji kwadratowej y=ax² i funkcji liniowej y=bx+c.
Wszystkie własności funkcji y=ax²+bx+c są analogiczne do własności funkcji y=x²+bx+c z tym zastrzeżeniem, że wszędzie, gdzie była mowa o funkcji x² teraz podstawiamy ax². Wykonując odpowiednie wykresy i analizując ich położenie otrzymujemy następujące własności:

Własność 6. Wyraz wolny c funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c oznacza wielkość przesunięcia paraboli y=ax²+bx wzdłuż osi OY. Ponieważ parabola y=ax²+bx przechodzi przez punkt (0,0) więc jest to równocześnie punkt przecięcia funkcji y=ax²+bx+c z osią OY.

 Własność 7. Liczba -b/(2a) oznacza wartość współrzędnej x wierzchołka paraboli y=ax²+bx+c. W tym punkcie funkcja ma najmniejszą wartość. Współrzędną y wierzchołka wyznaczamy, wstawiając za x wartość -b/(2a) do wzoru funkcji.

 Z powyższych własności wynika praktyczny wniosek: aby narysować wykresy funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c, wystarczy przesunąć parabolę y=ax² tak, aby jej wierzchołek znalazł się w punkcie (-b/(2a), f(-b/2)).

 Ćw. 13. Oblicz pierwiastki równania ax²+bx+c=0.

Rozwiązanie: Pzekształcamy równanie ax²+bx+c=0 do postaci x²+b/a*x+c/a=0 i korzystamy ze sposobu podanego w ćw.12. Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy: x₁=(-b-(b² -4ac)^1/2)/(2a)  i  x₂=(-b+(b² -4ac)^1/2)/(2a), gdzie b² -4ac>0.

Opracował: Eugeniusz Jakubas