Temat: Iloraz różnicowy i pochodna
funkcji. (liceum)
pochodna.doc – 61 kB
Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia
pochodnej funkcji.
Przebieg lekcji:
1. Powtórzenie wiadomości o wielkościach proporcjonalnych, wykresach wielkości proporcjonalnych, interpretacji współczynnika kierunkowego prostej, dziedzinie funkcji, wartościach funkcji i monotoniczności funkcji.
2. Rozwiązanie przez uczniów zadania
1.
Zadanie 1. Sporządź wykres funkcji y = 1/4* x2 + x - 6 i podaj
jak najwięcej własności tej funkcji.
Odpowiedź: Wykresem funkcji jest parabola.
Wierzchołkiem jest punkt W(-2,-7),
punkt przecięcia z osią OY wynosi
-6, a miejsca zerowe wynoszą: -2-2
i -2+2. Funkcja jest
malejąca w przedziale (-,-2) zaś rosnąca w
przedziale (-2,+).
3.
Omówienie pojęcia ilorazu różnicowego funkcji y
= 1/4* x2 + x - 6.
Dla
x1= -1, x2=6,
iloraz różnicowy u = = 2.25
Oznacza on średni przyrost wartości
funkcji przypadający na 1 jednostkę.
4.
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego przy pomocy poniższego programu sieczna.
program
Sieczna;
{Turbo Pascal} uses
graph; var
karta,tryb,n,xA,yA,xB,yB:integer; x,x1,x2,u:real; function
f(x:real):real; begin
f:=1/4*x*x+x-6; end;
begin
karta:=detect;
initgraph(karta,tryb,''); setColor(lightGray); for n:=0 to 32 do line(n*20,0,n*20,479); for n:=0 to 24 do line(0,n*20,639,n*20); setColor(white); line(0,240,639,240); line(320,0,320,479); x:=-16; repeat x:=x+0.05; putPixel(round(x*20+320),round(240-f(x)*20),9); until x>=16; x1:=-1;
x2:=6; xA:=round(x1*20+320); yA:=round(240-f(x1)*20);circle(xA,yA,2); xB:=round(x2*20+320); yB:=round(240-f(x2)*20);circle(xB,yB,2); u:=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1); write('u = ',u:1:4); line(0,round(u*xA+yA),639,round(u*(xA-639)+yA));
line(xA,yA,xB,yA); line(xB,yA,xB,yB); readln; closegraph;
end.
|
program
Sieczna;
{Think Pascal} var
n, xA, yA, xB, yB: integer; x, x1, x2, u:
real; function f (x: real): real; begin f := 1 / 4 * x * x + x -
6; end; begin for n := 1 to 30 do drawLine(n * 20, 0, n * 20,
400); for n := 1 to 20 do drawLine(0, n * 20, 600, n *
20); penSize(2, 2); drawLine(0,200,600,200); drawLine(300,0,300,400); x := -16; repeat x := x + 0.05; paintCircle(round(x*20+300),round(200-f(x)*20),1); until x > 16; x1 := -1; x2 := 6; xA := round(x1 * 20 + 300); yA := round(200-f(x1)*20);paintCircle(xA,yA,3); xB := round(x2 * 20 + 300); yB := round(200-f(x2)*20);paintCircle(xB, yB, 3); u
:= (f(x2) - f(x1)) / (x2-x1); write('u = 'u : 2 : 2); drawLine(0,round(u*xA+yA),
600,round(u*(xA-600)+yA)); drawLine(xA, yA, xB, yA); drawLine(xB, yA, xB, yB); end. |
Iloraz różnicowy 2.25 jest równy tg(a), gdzie a oznacza kąt nachylenia siecznej do
osi X – rys.1.
5.
Postawienie i rozwiązanie problemu 1.
Zbadać jak zmienia się iloraz różnicowy
danej funkcji f(x)=1/4*x2+x-6, gdy punkt x1 jest stały i wynosi -1, a punkt x2 dąży do x1 ?
6.
Omówienie wyników.
dla x1=-1
i x2=6, iloraz różnicowy u =2.25, - rys.1.
dla x1=-1
i x2=5, iloraz różnicowy u =2,
dla x1=-1
i x2=4, iloraz różnicowy u =1.75,
dla x1=-1
i x2=3, iloraz różnicowy u =1.5,
dla x1=-1
i x2=0, iloraz różnicowy u =0.75,
dla x1=-1
i x2=-0.5, iloraz różnicowy u =0.625,
dla x1=-1
i x2=-0.99, iloraz różnicowy u =0.5025,
dla x1=-1
i x2=-0.999, iloraz różnicowy u =0.5002,
dla x1=-1
i x2=-0.9999, iloraz różnicowy u =0.5, - rys.2.
dla x1=-1
i x2=-0.99999,
iloraz różnicowy u =0.5.
Rys.1.
Rys. 2.
7.
Sformułowanie wniosku:
Iloraz różnicowy funkcji
f(x)=1/4*x2+x-6
przy x2 ® -1 dąży do liczby 0.5.
Liczbę tę będziemy nazywać pochodną
funkcji f(x) w punkcie -1 i zapisywać symbolem
f '(-1) = 0.5.
Graniczne położenie siecznej przy
x2® x1
będziemy nazywać styczną.
8.
Obliczanie pochodnych danej funkcji
w innych punktach przy pomocy programu.
9. Obliczanie pochodnych innych funkcji w różnych punktach, np. y=sin(x) w punkcie x=1- rys.3, 4.
Rys. 3
Rys. 4
10. Obliczanie pochodnych funkcji z definicji, jako granicy ciągu ilorazów różnicowych.
11. Wprowadzenie pojęcia funkcji pochodnej.
W celu poglądowego wprowadzenia tego
pojęcia należy skorzystać z wyżej podanego programu Wykresy_funkcji i dopisać do niego deklarację
funkcji pochodnej. Przyjmie on postać:
Program
Pochodna;
{Turbo Pascal} uses
Graph; var
karta,tryb,n,siatka,j:integer; x,y:real; function
f(x:real):real; begin f:=sin(x); end; function
g(x:real):real; begin g:=(f(x+0.000001)-f(x))/0.000001; end; begin karta:=detect; initGraph(karta,tryb,''); j:=36; setColor(darkGray);
for n:=-320 div j to 320 div j do begin line(320+n*j,0,320+n*j,479); line(0,240+n*j,639,240+n*j); end; setcolor(white); line(0,240,639,240); line(630,235,639,240); line(630,245,639,240); outtextxy(630,250,'X'); line(320,0,320,479); line(315,9,320,0); line(320,0,325,9); outtextxy(330,8,'Y'); x:=-320/j; repeat x:=x+1/j/2; y:=240-f(x)*j; setColor(lightBlue);
setFillStyle(1,lightBlue); if abs(y)<480 then fillEllipse(round(x*j+320),round(y),1,1); y:=240-g(x)*j; setColor(lightRed);
setFillStyle(1,lightRed); if abs(y)<480 then fillEllipse(round(x*j+320),round(y),1,1); until x>320/j; readln; closeGraph; end. |
program
Pochodna;
{Think
Pascal} var n, j: integer; x: real; function
f (x: real): real; begin f := sin(x); end; function
g (x: real): real; begin g := (f(x + 0.00001) - f(x)) / 0.00001; end; begin j := 36; for n := -300 div j to 300 div j do drawLine(300 + n * j, 0, 300 + n * j, 400); for n := -200 div j to 200 div j do
drawLine(0, 200 + n * j, 600, 200 + n * j); penSize(2, 2); drawLine(300, 0, 300, 400); drawLine(590, 195, 600, 200); drawLine(600, 200, 590, 205); moveTo(590, 220); drawString('X'); drawLine(0, 200, 600, 200); drawLine(295, 10, 300, 0); drawLine(300, 0, 305, 10); moveTo(310, 20); drawString('Y'); x := -300 / j; repeat x
:= x + 1 / j; foreColor(blueColor); paintCircle(round(x*
j+301),round(200-f(x)*),1); foreColor(redColor); paintCircle(round(x*j+301),round(200-g(x)*j),1); until
x > 300 / j; end. |
Rys.5.
f(x)=1/4x2+x-6, f '(x)=1/2x+1
Rys.6. f(x)=sin(x), f '(x)=cos(x)
12.
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji elementarnych.