Eugeniusz Jakubas - Iloraz różnicowy i pochodna funkcji

Temat: Iloraz różnicowy i pochodna funkcji. (liceum) pochodna.doc – 61 kB

Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji.

Przebieg lekcji:

1. Powtórzenie wiadomości o wielkościach proporcjonalnych, wykresach wielkości proporcjonalnych, interpretacji współczynnika kierunkowego prostej, dziedzinie funkcji, wartościach funkcji i monotoniczności funkcji.

2. Rozwiązanie przez uczniów zadania 1.

Zadanie 1. Sporządź wykres funkcji y = 1/4_* x² + x - 6 i podaj jak najwięcej własności tej funkcji.

Odpowiedź: Wykresem funkcji jest parabola. Wierzchołkiem jest punkt W(-2,-7),

punkt przecięcia z osią OY wynosi -6, a miejsca zerowe wynoszą: -2-2

i -2+2. Funkcja jest malejąca w przedziale (-,-2) zaś rosnąca w

przedziale (-2,+).

3. Omówienie pojęcia ilorazu różnicowego funkcji y = 1/4_* x² + x - 6.

Dla x₁= -1, x₂=6, iloraz różnicowy u = = 2.25

Oznacza on średni przyrost wartości funkcji przypadający na 1 jednostkę.

4. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego przy pomocy poniższego programu sieczna.

program Sieczna; {Turbo Pascal}

uses graph;

var karta,tryb,n,xA,yA,xB,yB:integer;

x,x1,x2,u:real;

function f(x:real):real;

begin

f:=1/4*x*x+x-6;

end;

begin

karta:=detect; initgraph(karta,tryb,'');

setColor(lightGray);

for n:=0 to 32 do line(n*20,0,n*20,479);

for n:=0 to 24 do line(0,n*20,639,n*20);

setColor(white);

line(0,240,639,240); line(320,0,320,479);

x:=-16;

repeat

x:=x+0.05;

putPixel(round(x*20+320),round(240-f(x)*20),9);

until x>=16;

x1:=-1; x2:=6;

xA:=round(x1*20+320);

yA:=round(240-f(x1)*20);circle(xA,yA,2);

xB:=round(x2*20+320);

yB:=round(240-f(x2)*20);circle(xB,yB,2);

u:=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1); write('u = ',u:1:4);

line(0,round(u*xA+yA),639,round(u*(xA-639)+yA));

line(xA,yA,xB,yA); line(xB,yA,xB,yB);

readln; closegraph;

end.

program Sieczna; {Think Pascal}

var n, xA, yA, xB, yB: integer;

x, x1, x2, u: real;

function f (x: real): real;

begin

f := 1 / 4 * x * x + x - 6;

end;

begin

for n := 1 to 30 do drawLine(n * 20, 0, n * 20, 400);

for n := 1 to 20 do drawLine(0, n * 20, 600, n * 20);

penSize(2, 2);

drawLine(0,200,600,200);

drawLine(300,0,300,400);

x := -16;

repeat

x := x + 0.05;

paintCircle(round(x*20+300),round(200-f(x)*20),1);

until x > 16;

x1 := -1; x2 := 6;

xA := round(x1 * 20 + 300);

yA := round(200-f(x1)*20);paintCircle(xA,yA,3);

xB := round(x2 * 20 + 300);

yB := round(200-f(x2)*20);paintCircle(xB, yB, 3);

u := (f(x2) - f(x1)) / (x2-x1); write('u = 'u : 2 : 2);

drawLine(0,round(u*xA+yA),

600,round(u*(xA-600)+yA));

drawLine(xA, yA, xB, yA);

drawLine(xB, yA, xB, yB);

end.

Iloraz różnicowy 2.25 jest równy tg(a), gdzie a oznacza kąt nachylenia siecznej do osi X – rys.1.

5. Postawienie i rozwiązanie problemu 1.

Zbadać jak zmienia się iloraz różnicowy danej funkcji f(x)=1/4*x²+x-6, gdy punkt x₁ jest stały i wynosi -1, a punkt x₂ dąży do x₁ ?

6. Omówienie wyników.

dla x₁=-1 i x₂=6, iloraz różnicowy u =2.25, - rys.1.

dla x₁=-1 i x₂=5, iloraz różnicowy u =2,

dla x₁=-1 i x₂=4, iloraz różnicowy u =1.75,

dla x₁=-1 i x₂=3, iloraz różnicowy u =1.5,

dla x₁=-1 i x₂=0, iloraz różnicowy u =0.75,

dla x₁=-1 i x₂=-0.5, iloraz różnicowy u =0.625,

dla x₁=-1 i x₂=-0.99, iloraz różnicowy u =0.5025,

dla x₁=-1 i x₂=-0.999, iloraz różnicowy u =0.5002,

dla x₁=-1 i x₂=-0.9999, iloraz różnicowy u =0.5, - rys.2.

dla x₁=-1 i x₂=-0.99999, iloraz różnicowy u =0.5.

Rys.1. Rys. 2.

7. Sformułowanie wniosku:

Iloraz różnicowy funkcji f(x)=1/4*x²+x-6 przy x₂ ® -1 dąży do liczby 0.5.

Liczbę tę będziemy nazywać pochodną funkcji f(x) w punkcie -1 i zapisywać symbolem

f '(-1) = 0.5.

Graniczne położenie siecznej przy x₂® x₁ będziemy nazywać styczną.

8. Obliczanie pochodnych danej funkcji w innych punktach przy pomocy programu.

9. Obliczanie pochodnych innych funkcji w różnych punktach, np. y=sin(x) w punkcie x=1- rys.3, 4.

Rys. 3 Rys. 4

10. Obliczanie pochodnych funkcji z definicji, jako granicy ciągu ilorazów różnicowych.

11. Wprowadzenie pojęcia funkcji pochodnej.

W celu poglądowego wprowadzenia tego pojęcia należy skorzystać z wyżej podanego programu Wykresy_funkcji i dopisać do niego deklarację funkcji pochodnej. Przyjmie on postać:

Program Pochodna; {Turbo Pascal}

uses Graph;

var karta,tryb,n,siatka,j:integer; x,y:real;

function f(x:real):real;

begin

f:=sin(x);

end;

function g(x:real):real;

begin

g:=(f(x+0.000001)-f(x))/0.000001;

end;

begin

karta:=detect; initGraph(karta,tryb,'');

j:=36; setColor(darkGray);

for n:=-320 div j to 320 div j do

begin

line(320+n*j,0,320+n*j,479);

line(0,240+n*j,639,240+n*j);

end;

setcolor(white);

line(0,240,639,240); line(630,235,639,240);

line(630,245,639,240); outtextxy(630,250,'X');

line(320,0,320,479); line(315,9,320,0);

line(320,0,325,9); outtextxy(330,8,'Y');

x:=-320/j;

repeat

x:=x+1/j/2; y:=240-f(x)*j;

setColor(lightBlue); setFillStyle(1,lightBlue);

if abs(y)<480 then

fillEllipse(round(x*j+320),round(y),1,1);

y:=240-g(x)*j;

setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed);

if abs(y)<480 then

fillEllipse(round(x*j+320),round(y),1,1);

until x>320/j;

readln; closeGraph;

end.

program Pochodna; {Think Pascal}

var n, j: integer; x: real;

function f (x: real): real;

begin

f := sin(x);

end;

function g (x: real): real;

begin

g := (f(x + 0.00001) - f(x)) / 0.00001;

end;

begin

j := 36;

for n := -300 div j to 300 div j do

drawLine(300 + n * j, 0, 300 + n * j, 400);

for n := -200 div j to 200 div j do

drawLine(0, 200 + n * j, 600, 200 + n * j);

penSize(2, 2);

drawLine(300, 0, 300, 400);

drawLine(590, 195, 600, 200);

drawLine(600, 200, 590, 205);

moveTo(590, 220);

drawString('X');

drawLine(0, 200, 600, 200);

drawLine(295, 10, 300, 0);

drawLine(300, 0, 305, 10);

moveTo(310, 20);

drawString('Y');

x := -300 / j;

repeat

x := x + 1 / j;

foreColor(blueColor);

paintCircle(round(x* j+301),round(200-f(x)*),1);

foreColor(redColor);

paintCircle(round(x*j+301),round(200-g(x)*j),1);

until x > 300 / j;

end.

Rys.5. f(x)=1/4x²+x-6, f '(x)=1/2x+1 Rys.6. f(x)=sin(x), f '(x)=cos(x)

12. Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji elementarnych.