Temat:
Schemat Bernoulli’ego. (liceum)
sch-Bern.doc – 76 kB
Celem lekcji jest wprowadzenie pojęcia schematu
Bernoulli’ego, wyznaczanie częstości i prawdopodobieństw zdarzeń w schemacie
Bernoulli’ego, zapoznanie z rozkładem dwumianowym i porównanie go z rozkładem
normalnym oraz prawo wielkich liczb Bernoulli’ego.
Przebieg lekcji:
1. Wprowadzenie.
Schemat Bernoulli’ego jest to ciąg powtórzeń (prób) tego samego
doświadczenia losowego, w którym obserwujemy zachodzenie ustalonego zdarzenia A. Wynik
każdego doświadczenia jest niezależny od innych doświadczeń i nazywamy go sukcesem
jeżeli jest zgodny ze zdarzeniem A, w przeciwnym razie nazywamy go porażką. Każda
próba musi odbywać się w tych samych warunkach, tak aby prawdopodobieństwo sukcesu w
każdej próbie było takie samo.
2. Przykład: Rzucamy 40 razy monetą. Interesującym nas zdarzeniem niech będzie wypadnięcie orła. Wyznaczymy częstośc i prawdopodobieństwo otrzymania 20 orłów. (Przed rozwiązaniem można poprosić uczniów o podanie intuicyjnych wyników, np. czy prawdopodobieństwo to będzie większe, czy mniejsze niż 1/2)
3. Praktyczne wyznaczenie częstości
otrzymania 20 orłów w 40 rzutach monetą.
Każdy uczeń wykonuje 40 rzutów monetą i zaznacza, na wspólnym dla całej klasy
wykresie, ilość otrzymanych orłów - rys 1.
Rys.1. Wyniki 40 rzutów monetą dla 30
uczniów.
4. Omówienie otrzymanych wyniów.
W klasie 30 osobowej 7 uczniów uzyskało 20 orłów w 40 rzutach monetą. Zatem
częstość otrzymania 20 orłów dla tej klasy wynosi .
5. Przypomnienie prawa stabilności
częstości zdarzeń - częstość zdarzeń w
masowych zjawiskach losowych, jest ustabilizowana na odpowiednim dla każdego zdarzenia
poziomie.
6.Problem 1: Na jakim poziomie ustabilizuje się
częstość otrzymania 20 orłów w 40 rzutach monetą, jeżeli rzuty wykona duża ilość
osób.
7.Ułożenie programu do symulacji 40
rzutów monetą dla dużej liczby uczniów (deska Galtona).
program Deska_Galtona; {Turbo Pascal} uses
graph,crt; var karta,tryb,n,k,i,wi,ko,ilO :
integer;
t:array[0..40]
of integer; begin karta:=vga; tryb:=vgaHi; initGraph(karta,tryb,''); randomize; bar(0,475,639,479); for n:=0 to 40 do for k:=1 to n+2 do
fillEllipse(k*14+287-n*7,n*5+10,1,1); for i:=1 to 400 do begin ko:=308; wi:=10;
fillEllipse(ko,wi,2,2);
for n:=1
to 40 do
begin
setColor(black); setFillStyle(1,black); fillEllipse(ko,wi,2,2);
if random<0.5 then ko:=ko-7 else ko:=ko+7; wi:=wi+5;
setColor(lightRed); setFillStyle(1,lightRed); fillEllipse(ko,wi,2,2);
delay(50);
end; setColor(black);
setFillStyle(1,black); fillEllipse(ko,wi,2,2); ilO:=(ko-28)
div 14; t[ilO]:=t[ilO]+1; setColor(lightRed);
setFillStyle(1,lightRed); fillEllipse(ko,477-t[ilO]*4,2,2); end; readLn; closeGraph; end. |
8. Uruchamianie programu dla różnych
ilości uczniów i obserwowanie częstości otrzymywania poszczególnych ilości orłów-
rys.2.
![]() |
Rys.2. Wyniki symulacji rzutów monetą
dla 300 uczniów.
9. Odpowiedź do problemu 1 i wnioski z
przeprowadzonych symulacji:
Odpowiedź:
Dla 300 osob około 38 osób uzyska 20 orłów w 40 rzutach (jest to środkowy,
najwyższy słupek na rys.2) co daje częstośc 38/300, czyli około 0,125. Jest więc ona
dużo mniejsza od 1/2 i oznacza, że na 1000 osób tylko około 125 osób uzyska 20
orłów w 40 rzutach monetą.
Wniosek 1. Częstości uzyskania innej liczby
niż 20 orłów są mniejsze od 0,125 i są rozłożone symetrycznie względem tej
wartości, np. częstość uzyskania 19 orłów jest prawie taka sama jak częstość
uzyskania 21 orłów, itd.
Wniosek
2. Częstości uzyskania 0, 1, 2, 3, 4, 5 orłów
oraz uzyskania 35, 36, 37, 38, 39, 40 orłów są tak małe, że nie są widoczne na
wykresie. Oznacza to praktycznie, że nie powinno się zdarzyć, aby na 40 rzutów
uzyskać, np. 40 czy 39 orłów lub 0 czy 1 orła.
Wniosek
3. Suma wszystkich częstości wynosi 1. Aby się o tym przekonać należy
odczytać z wykresu poszczególne częstości i zsumować je.
10.Problem 2.
W jaki sposób można obliczyć teoretycznie
odpowiedniki częstości, czyli prawdopodobieństwa, otrzymywania k orłów w n rzutach monetą, gdzie k=0,1,2,...,n?
Rozwiązanie:
Obliczymy najpierw prawdopodobieństwo otrzymania 2 orłów w 4 rzutach monetą.
Sposób I.
Zbiór zdarzeń elementarnych W={(O,O,O,O),(O,O,O,R),(O,O,R,O),(O,R,O,O),
(R,O,O,O),(O,O,R,R),(O,R,R,O),(R,R,O,O),
(O,R,O,R),(R,O,R,O),
(R,O,O,R),(O,R,R,R),(R,O,R,R),(R,R,O,R),(R,R,R,O),(R,R,R,R)}.
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 16. Podkreślone zdarzenia to te, ktore
zawierają po 2 orły i jest ich 6. Zatem szukane prawdopodobieństwo P = .
Sposób II. Każde zdarzenie elementarne
jest ciągiem 4-wyrazowym. Zdarzeń elementarnych w których występują 2 orły jest
tyle, na ile sposobów można wybrać 2 miejsca w ciągu 4-wyrazowym, aby umieścić tam 2
orły, czyli tyle, ile kombinacji 2-elementowych ze zbioru 4-elementowego. Zatem ilość
zdarzeń sprzyjających naszemu zdarzeniu wynosi =6. Każdy z tych
sześciu ciągów zawiera 2 orły na dwóch miejscach, na pozostałych miejscach są
reszki, więc prawdopodobieństwo każdego z tych sześciu zdarzeń wynosi
.
Zatem szukane prawdopodobieństwo P =
Analogicznie można obliczać dowolne prawdopodobieństwo, np. prawdopodobieństwo
uzyskania 20 orłów w 40 rzutach monetą.
Otrzymujemy P ==0.125. Wynik ten potwierdza
wynik symulacji dla 300 uczniów uzyskany przy pomocy symulacji na desce Galtona.
11.Uogólnienie wzoru na
prawdopodobieństwo k sukcesów w n
próbach Bernoulli’ego do postaci:
12.Rozwiązywanie różnych zadań na
schemat Bernoulli’ego.
Zad.1.
Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania 3 szóstek w 3 rzutach kostką.
Zad.2.
Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie 500 orłów w 1000 rzutów monetą, czy
uzyskanie 500000 orłów w 1000000 rzutów monetą?
13.Omówienie
rozkładu dwumianowego Pn(k).
Problem 3. Jak rozkładają się
prawdopodobieństwa w schemacie Bernoulli’ego wraz ze wzrostem ilości prób n?
Do rozwiązania problemu należy wykorzystywać program Schemat_Bernoulli’ego_ teoria; który oblicza
prawdopodobieństwa uzyskania k orłów w n
rzutach monetą ze wzoru oraz
rysuje wykres tych prawdopodobieństw.
Program
Schemat_Bernoulli’ego_teoria; {Turbo
Pascal} {$N+}
uses graph; const g=1/4; n=1500; var
karta,tryb,k,i,xs:integer; x,dwa_do_n,silnia_n:extended;
pS,nS:string; function
silnia (s: integer): extended; begin x:=1; for i:=1 to s do x:=x*i; silnia:=x; end; function
n_po_k(n,k:integer):extended; begin n_po_k:=silnia_n/silnia(k)/silnia(n-k);end; begin karta:=detect; initGraph(karta,tryb,''); randomize;
setColor(darkGray); xs:=round(g*n/2+320); for k:=0 to 12 do begin
str(0.01*k:1:2,pS); outTextXY(600-xs,448-k*25,pS); line(600-xs,460-k*25,xs+20,460-k*25); end;
setColor(white); line(635-xs,479,635-xs,140);
line(600-xs,460,xs+20,460); outTextXY(637-xs,465,'0'); str(n div 2,nS); outTextXY(312,465,nS); str(n,nS); outTextXY(xs-5,465,nS); dwa_do_n:=exp(n*ln(2)); silnia_n:=silnia(n); for
k:=0 to n do line(round(g*k-g*n/2+320),459,round(g*k-g*n/2+320),
459-2*round(1250*n_po_k(n,k)/dwa_do_n)); readLn;
closeGraph; end. |
program
Schemat_Bernouliego_teoria;
{Think Pascal} const
n = 500; g = 1; var
k: integer; p, dwa_do_n, silnia_n:
extended; function
silnia (s: integer): extended; var
i: integer; x: extended; begin x := 1; for i := 1 to s do x := x *
i;silnia := x; end; function
n_po_k (n, k: integer): extended; begin n_po_k := silnia_n / silnia(k) /
silnia(n - k); end; begin showDrawing; randSeed := tickCount; for k := 0 to 12 do begin drawLine(280-g*n
div 2,400-k*25,340+g*n div 2,400-k*25); end; drawLine(315 - g * n div 2, 419, 315 -
g * n div 2, 40); drawLine(280 - g * n div 2, 400, 340 +
g * n div 2, 400); dwa_do_n := exp(n * ln(2)); silnia_n := silnia(n); for k := 0 to n do begin p
:= n_po_k(n, k) / dwa_do_n; drawLine(g*k-g*n
div 2+320,398, g*k-g*n
div 2+320,398-2*round(1250*p)); end; end. |
![]() |
Rys.3.
Rozkłady prawdopodobieństw w schemacie Bernoulli’ego dla 100, 500, 1000 i 1500
rzutów monetą.
Wnioski:
1.Wykresy prawdopodobieństw na kolejnych rysunkach są coraz niższe. Oznacza to, że im więcej razy rzucilibyśmy monetą, tym częstość uzyskania danej liczby orłów byłaby coraz mniejsza, np. częstość uzyskania 500 orłów w 1000 rzutach byłaby dużo mniejsza niż częstość uzyskania 50 orłów w 100 rzutach.
2.Wykresy prawdopodobieństw są skupione
wokół środka przedziału i wraz ze wzrostem ilości rzutów podstawy wykresów są, w
stosunku do całego przedziału, coraz mniejsze. Np. dla 100 rzutów, podstawa wykresu
zajmuje 30% całego przedziału, dla 500 rzutów zajmuje 15%, dla 1000 rzutów zajmuje
10%, a dla 1500 rzutów tylko około 8% całego przedziału. Oznacza to, że im więcej
razy rzucilibyśmy monetą tym bardziej liczba uzyskanych orłów, w stosunku do ilości
wszystkich rzutów, będzie bliższa liczby . Można to wyrazić prostym
zdaniem: częstość
dąży do
. Stwierdzenie
to jest prawem wielkich liczb Bernoulli’ego i wyraża głęboką myśl matematyczną,
mianowicie, że w zjawiskach losowych, przy bardzo dużej liczbie prób, otrzymamy taką
ilość sukcesów k , że częstość
jest praktycznie równa prawdopodobieństwu sukcesu
w pojedyńczej próbie. Nie oznacza to jednak, że ilość orłów dąży do połowy
rzutów, jak często błędnie wnioskują uczniowie.
14.Porównanie
rozkładu dwumianowego Bernoulliego z rozkładem normalnym Gaussa.
Rozkłady prawdopodobieństw przedstawione na rys.2 i rys.3, nazywane rozkładami dwumianowymi, są rozkładami skokowymi i oznaczają prawdopodobieństwa k sukcesów w n próbach Bernoulliego.
Rozkład prawdopodobieństw w wielu badanych zjawiskach przybiera postać krzywej przedstawionej na rys. 4.
![]() |
Rys.4. Krzywa rozkładu prawdopodobieństw, które
otrzymujemy w wielu badanych zjawiskach.
Krzywa ta nazywa się krzywą normalną Gaussa i opisuje ją funkcja ,
gdzie
i
są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.
Krzywa Gaussa nazywa się inaczej krzywą normalną błędów, ponieważ bardzo dobrze opisuje rozkład rozbieżności pomiędzy powtarzanymi pomiarami wielkości fizycznych.
Rozkład normalny ma duży związek z rozkładem dwumianowym. Przedstawia to rys.5, na którym na wykres rozkładu dwumianowego z rys.2 nałożono krzywą Gaussa z rys 4. Krzywa ta tym lepiej przybliża rozkład dwumianowy im bardziej ilość prób dąży do nieskończoności.
![]() |
Rys.5. Krzywa normalna Gaussa przybliża rozkład
dwumianowy Bernoulliego.