Temat: Wykresy funkcji, przekształcanie
wykresów. (liceum)
wyk-fun.doc – 71 kB
Celem lekcji jest zapoznanie z przekształceniami
wykresów funkcji.
Przebieg lekcji:
1. Przypomnienie wykresów funkcji
elementarnych: y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=x3, y=a/x, y=(ax+b)/(cx+d),
y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
2. Ułożenie programu do rysowania
wykresów funkcji lub wykorzystanie gotowego programu „Narzędzia Matematyczne II”
– WSiP.
Program
Wykresy_funkcji; {Turbo Pascal} uses
graph; var
karta,tryb,n,j:integer; x,y,Dx:real; function
f(x:real):real; begin f:=3/(x-2); end; begin karta:=detect; initGraph(karta,tryb,''); j:=20; setColor(darkGray); for n:=-319 div j to 320 div j do line(n*j+320,0,n*j+320,479); for n:=-239 div j to 240 div j do line(0,n*j+240,639,n*j+240); setColor(white); line(0,240,639,240); line(320,0,320,479); x:=-320/j; Dx:=0.00025; repeat x:=x+Dx; y:=f(x); if abs(y)<240/j then putPixel(round(x*j+320),round(-y*j+240),yellow); until x>320/j; readLn; closeGraph; end. |
program
Wykresy_funkcji; {Think Pascal} var
n, j: integer; x:
real; function f (x: real): real; begin f := 3 / (x - 2); end; begin j := 36; frameRect(0, 0, 400, 600); for n := -300 div j to 300 div j do drawLine(300+n*j,0,300+n*j,400); for n := -200 div j to 200 div j do drawLine(0,200+n*j,600,200+n*j); penSize(2, 2); drawLine(300, 0, 300, 400); drawLine(0, 200, 600, 200); foreColor(blueColor); x := -300 / j; repeat x := x + 1 / j; paintCircle(round(x*j+301),
round(200-f(x)*j),1); until x > 300 / j; end. |
3. Wykonanie przykładowych wykresów
funkcji.
Rys.1.
Przykładowe wykresy funkcji y=sqrt(abs(16-x*x)) i y=tg(x)=sin(x)/cos(x).
4. Uzupełnienie programu o
możliwość wykonania dwóch wykresów funkcji na jednym układzie współrzędnych.
Należy zadeklarować w programie drugą funkcję g(x)
w sposób podobny do deklaracji funkcji f(x) oraz
w pętli rysującej wykres dopisać linię
if
abs(f(x))<240/j then putPixel(round(x*j+320),round(240-g(x)*j),14) - Turbo Pascal
paintCircle(round(x*j+301),round(200-g(x)*j),1); - Think Pasacal
Program “Wyk-sk2.exe” standardowo wyposażony jest w
możliwość rysowania wielu funkcji.
Problem 1.
Dana jest funkcja y=3/(x-2). Narysuj,
przy pomocy programu "Wyk-sk2.exe" wykres danej funkcji oraz wykres funkcji do
niej symetrycznej, względem:
a)
osi OX, b)
osi OY, c)
punktu (0,0),
d) prostej y=x,
e) prostej y=-x,
f) prostej x=1,
g) prostej y=2.
Do każdego z podpunktów sformułuj wniosek ogólny dotyczący wzoru
funkcji symetrycznej.
W czasie rozwiązywania problemu
uczniowie powinni wpisywać do programu wzór danej funkcji jako funkcję f(x) oraz wzór proponowanej funkcji symetrycznej
jako funkcję g(x). Po uruchomieniu programu
powinni sprawdzać czy wykres funkcji g(x)
jest symetryczny do f(x).
|
|
Rys.2. Symetrie wykresów funkcji
y=3/(x-2).
Odpowiedź:
Funkcje symetryczne do funkcji
y=3/(x-2) oraz wzory ogólne poszczególnych symetrii mają następującą postać:
a) funkcja symetryczna względem osi
OX: y= -3/(x-2), wzór ogólny y= -f(x)
b) funkcja symetryczna względem osi
OY: y= 3/(-x-2), wzór ogólny y= f(-x),
c)
funkcja symetryczna względem punktu (0,0): y= -3/(-x-2)=3/(x+2), wzór ogólny y=
-f(-x),
d) funkcja symetryczna względem
prostej y=x: y= 3/x+2, wzór ogólny dla funkcji różnowartościowej otrzymujemy przez
zamianę zmiennych i przekształcenie wzoru do postaci y= f(x),
e) funkcja symetryczna względem
prostej y=-x: y= 3/(x+2), wzór ogólny dla funkcji różnowartościowej otrzymujemy przez
podstawienie y= -x i x= -y, a następnie doprowadzenie do postaci y= f(x),
f) funkcja symetryczna względem
prostej x= -4: y=3/(6-x), wzór ogólny y=
f(2a-x),
g) funkcja symetryczna względem
prostej y=1: y= (2x-7)/(x-2), wzór ogólny
y= 2b-f(x).
6. Rozwiązanie drugiego problemu.
Problem 2.
Znajdź sposób otrzymywania z
wykresu funkcji y=f(x) wykresu funkcji:
a) y=k*f(x), b) y=f(k*x), c) y=f(x)+k, d) y=f(x+k).
Obserwując wykresy odpowiednich
funkcji uczniowie powinni wywnioskować jakie otrzymali przekształcenie.
|
|
Rys.3. Wykresy rodzin funkcji
y=k*sin(x) i y=sin(x)+k.
Odpowiedź:
a) wykres funkcji y=k*f(x)
otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x) przez powinowactwo względem osi OX w skali k,
b) wykres funkcji y=f(k*x)
otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x) przez powinowactwo względemosi OY w skali 1/k,
c) wykres funkcji y=f(x)+k otrzymujemy
z wykresu funkcji y=f(x) przez translację o wektor [0,k],
d) wykres funkcji y=f(x+k) otrzymujemy
z wykresu funkcji y=f(x) przez translację o wektor [-k,0].
7. Wykonywanie składnia
przekształceń wykresów funkcji według wzoru y=a*f(b*x+c) + d,
np. y=3sin(2x -1), y=cos(x/2+1)+3, itp.