Temat: Wykresy funkcji, przekształcanie wykresów. (liceum)                wyk-fun.doc – 71 kB

 

Celem lekcji jest zapoznanie z przekształceniami wykresów funkcji.

 

Przebieg lekcji:

 

1. Przypomnienie wykresów funkcji elementarnych: y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=x3, y=a/x, y=(ax+b)/(cx+d), y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

 

2. Ułożenie programu do rysowania wykresów funkcji lub wykorzystanie gotowego programu „Narzędzia Matematyczne II” – WSiP.

 

Program Wykresy_funkcji;   {Turbo Pascal}

uses graph;

var karta,tryb,n,j:integer;

    x,y,Dx:real;

function f(x:real):real;

begin

  f:=3/(x-2);

end;

begin

  karta:=detect; initGraph(karta,tryb,'');

  j:=20;

  setColor(darkGray);

  for n:=-319 div j to 320 div j do

       line(n*j+320,0,n*j+320,479);

  for n:=-239 div j to 240 div j do

       line(0,n*j+240,639,n*j+240);

  setColor(white); line(0,240,639,240);

  line(320,0,320,479);

  x:=-320/j; Dx:=0.00025;

  repeat

    x:=x+Dx;

    y:=f(x);

    if abs(y)<240/j then

     putPixel(round(x*j+320),round(-y*j+240),yellow);

  until x>320/j;

  readLn; closeGraph;

end.

program Wykresy_funkcji;   {Think Pascal}

   var n, j: integer;

          x: real;

 function f (x: real): real;

   begin

      f := 3 / (x - 2);

   end;

begin

   j := 36;

   frameRect(0, 0, 400, 600);

   for n := -300 div j to 300 div j do

    drawLine(300+n*j,0,300+n*j,400);

   for n := -200 div j to 200 div j do

    drawLine(0,200+n*j,600,200+n*j);

   penSize(2, 2);

   drawLine(300, 0, 300, 400);

   drawLine(0, 200, 600, 200);

   foreColor(blueColor);

   x := -300 / j;

   repeat

      x := x + 1 / j;

      paintCircle(round(x*j+301),

                             round(200-f(x)*j),1);

   until x > 300 / j;

end.

 

3. Wykonanie przykładowych wykresów funkcji.

Rys.1. Przykładowe wykresy funkcji y=sqrt(abs(16-x*x)) i y=tg(x)=sin(x)/cos(x).

 

4. Uzupełnienie programu o możliwość wykonania dwóch wykresów funkcji na jednym układzie współrzędnych. Należy zadeklarować w programie drugą funkcję g(x) w sposób podobny do deklaracji funkcji f(x) oraz w pętli rysującej wykres dopisać linię

 

if abs(f(x))<240/j then putPixel(round(x*j+320),round(240-g(x)*j),14) - Turbo Pascal

paintCircle(round(x*j+301),round(200-g(x)*j),1); - Think Pasacal

Program “Wyk-sk2.exe” standardowo wyposażony jest w możliwość rysowania wielu funkcji.

 

Problem 1.

 

Dana jest funkcja y=3/(x-2). Narysuj, przy pomocy programu "Wyk-sk2.exe" wykres danej funkcji oraz wykres funkcji do niej symetrycznej, względem:

 

  a) osi OX,        b) osi OY,        c) punktu (0,0),           d) prostej y=x,

e) prostej y=-x,             f) prostej x=1,                        g) prostej y=2.

Do każdego z podpunktów  sformułuj wniosek ogólny dotyczący wzoru funkcji symetrycznej.

 

W czasie rozwiązywania problemu uczniowie powinni wpisywać do programu wzór danej funkcji jako funkcję f(x) oraz wzór proponowanej funkcji symetrycznej jako funkcję g(x). Po uruchomieniu programu powinni sprawdzać czy wykres funkcji g(x) jest symetryczny do f(x).

 

 

Rys.2. Symetrie wykresów funkcji y=3/(x-2).

Odpowiedź:

Funkcje symetryczne do funkcji y=3/(x-2) oraz wzory ogólne poszczególnych symetrii mają następującą postać:

a) funkcja symetryczna względem osi OX: y= -3/(x-2), wzór ogólny y= -f(x)

b) funkcja symetryczna względem osi OY: y= 3/(-x-2), wzór ogólny y= f(-x),

c)  funkcja symetryczna względem punktu (0,0): y= -3/(-x-2)=3/(x+2), wzór ogólny y= -f(-x),

d) funkcja symetryczna względem prostej y=x: y= 3/x+2, wzór ogólny dla funkcji różnowartościowej otrzymujemy przez zamianę zmiennych i przekształcenie wzoru do postaci y= f(x),

e) funkcja symetryczna względem prostej y=-x: y= 3/(x+2), wzór ogólny dla funkcji różnowartościowej otrzymujemy przez podstawienie y= -x i x= -y, a następnie doprowadzenie do postaci y= f(x),

f) funkcja symetryczna względem prostej x= -4:  y=3/(6-x), wzór ogólny y= f(2a-x),

g) funkcja symetryczna względem prostej y=1:  y= (2x-7)/(x-2), wzór ogólny y= 2b-f(x).

 

 

6. Rozwiązanie drugiego problemu.

Problem 2.

Znajdź sposób otrzymywania z wykresu funkcji y=f(x) wykresu funkcji:

a) y=k*f(x),       b) y=f(k*x),     c) y=f(x)+k,    d) y=f(x+k).

 

Obserwując wykresy odpowiednich funkcji uczniowie powinni wywnioskować jakie otrzymali przekształcenie.

 

 

Rys.3. Wykresy rodzin funkcji y=k*sin(x) i y=sin(x)+k.

Odpowiedź:

a) wykres funkcji y=k*f(x) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x) przez powinowactwo względem osi OX w skali k,

b) wykres funkcji y=f(k*x) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x) przez powinowactwo względemosi OY w skali 1/k,

c) wykres funkcji y=f(x)+k otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x) przez translację o wektor [0,k],

d) wykres funkcji y=f(x+k) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x) przez translację o wektor [-k,0].

 

7. Wykonywanie składnia przekształceń wykresów funkcji według wzoru y=a*f(b*x+c) + d, np. y=3sin(2x -1), y=cos(x/2+1)+3, itp.