Program ciag-sze.exe.

Opis programu “Ciągi i szeregi”

Program, gra “Ciągi i szeregisłuży do budowania bram o maksymalnej szerokości.

Z matematycznego punktu widzenia chodzi o stosowanie pojęcia ciągu i szeregu. Gra jest trudna i wymaga dużych umiejętności analizowania złożonych informacji matematycznych i fizycznych.

Gra polega na dobierania odpowiednich wzorów według których układane są stosy klocków tworzące bramy. Podstawowy problem, to znalezienie takiego wzoru ułożenia klocków, przy którym stos zachowuje stabilność i nie przewraca się, a jednocześnie klocek leżący na najwyższym poziomie jest maksymalnie wysunięty poza obręb podstawy. Klocki z których budowane są bramy są "luźne", tzn. nie są ze sobą sklejane ani nie są w żaden inny sposób łączone.

Zachęcam Czytelników do ręcznego układania prawdziwych klocków, jednak aby uzyskać te same rezultaty co przy użyciu programu, należy zachować wielką zręczność układania i dużą dokładność przy mierzeniu odległości. Do takiej zabawy nie mogą być użyte klocki Lego, ponieważ ich układanie polega na łączeniu.

Po uruchomieniu programu otrzymujemy prosty przykład ułożenia klocków tworzący nawis o długości 0.9. Dwa takie symetryczne nawisy tworzą bramę o szerokości 1.8 – rys.1. W programie przyjęto, że długość każdego klocka wynosi 2 a waga każdego wynosi 1. Numerowanie klocków odbywa się od góry do dołu. Ostatnie dwa dolne klocki nie są numerowane i nie są brane do obliczeń, tworzą one podstawy stosów.

Rys.1. Przykład ułożenia klocków w dwa symetryczne nawisy o długości 0.9. Utworzona brama ma szerokości 1.8.

Program wyświetla wszystkie niezbędne informacje dotyczące każdego stosu. I tak:

. Środki ciężkości, a właściwie ich współrzędne, są bardzo ważnymi liczbami. Informują one o tym, czy dany stos przewróci się, czy zachowa równowagę. Jeżeli środek ciężkości wykroczy poza krawędź podstawy to stos się przewraca.

Program umożliwia zmianę ilości klocków. Aby zwiększyć ilość klocków (max.=50) należy nacisnąć klawisz strzałki w górę, zaś aby zmniejszyć ilość klocków należy używać klawisza strzałki w dół. Po zmianie ilości klocków należy zatwierdzić ją klawiszem “Enter”.

W programie można również zmieniać wzór ciągu. W tym celu należy nacisnąć klawisz “A” i napisać wzór wyrażenia “an = ”. Wprowadzony wzór należy zatwierdzić klawiszem “Enter”. Program przyjmie każdy poprawny wzór napisany w konwencji "pascalowej" . Oto przykładowe ciągi jakie można wprowadzać do programu:

ciąg wpisujemy w postaci 1/(13-n), ciąg wpisujemy w postaci 1/2^(n-1),

ciąg wpisujemy w postaci abs(sin(n))/10, ciąg wpisujemy w postaci 1/(3*sqr(n)).

Program umożliwia również wprowadzanie wartości wyrazów ciągu w postaci liczb dziesiętnych, z tym, że można to zrobić tylko dla pierwszych dziewięciu wyrazów. Należy w tym celu nacisnąć klawisz z odpowiednim numerem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i wpisać wartość w komórce tabeli w której mruga kursor. Po wpisaniu wartości, należy zatwierdzić ją klawiszem “Enter”.

W przypadku, gdyby stos miał się przewrócić, program przerywa układanie klocków i podaje ostrzeżenie w postaci komunikatu "Katastrofa !" Zaznacza również strzałką miejsce w którym nastąpiłaby katastrofa. Gdy wartość ciągu jest ujemna lub wartość ta nie istnieje program przerywa układanie klocków i podaje odpowiednie komunikaty.

Program umożliwia również obciążanie stosu przez ustawienie na jego szczycie “ludzika”. Jego waga jest równa wadze 10 klocków. Aby uzyskać efekt obciążenia należy nacisnąć klawisz “M”. Ponowne wciśnięcie klawisza "M" likwiduje obciążenie.

Po utworzeniu każdego stosu, aby uzyskać drugi symetryczny stos, czyli utworzyć bramę, należy nacisnąć klawisz “B”.

Eksperymentowanie przy pomocy programu powinno doprowadzić do znalezienia takiego ciągu dla którego nawis jest największy. Zależy to oczywiście od ilości klocków. Np. dla 9 klocków maksymalny nawis wynosi 2.82897, a odpowiednia brama ma szerokość 2*2.82897=5,65794. Wzór ciągu dla tej bramy podany jest na końcu tekstu. Prosimy jednak tam nie zaglądać dopóki nie spróbuje się samodzielnie uzyskać jakiegoś rozwiązania.

Ważny jest również problem maksymalnej ilość klocków, które można ułożyć w nawis według danego wzoru. W programie można użyć maksymalnie 50 klocków ale wystarcza to do zaobserwowania odpowiednich zależności. Dla ciągu an=1/10 można ułożyć tylko 18 klocków, przy 19-tym stos się przewraca. Dla ciągu an=1/2^(n-1) można ułożyć nieskończenie wiele klocków (w programie jednak tylko 50).

Szczególnie interesujące są ciągi zbieżne dające rozbieżne szeregi, co w niektórych przypadkach pozwala budować stosy o nieskończenie wielkim nawisie. Jest to dziwne i zaskakujące, więc w czasie pracy z programem mogą nastąpić chwile zdziwienia. Twórcza i dociekliwa postawa w takich przypadkach zaowocuje radością odkrycia i satysfakcją zrozumienia.

Życzę przyjemnej pracy z programem - Eugeniusz Jakubas

Program ciag-sze.exe.

Odp. Największa jest brama o wzorze 1/n.